Помогите найти предел

[BOKAJIUCT]

\(  \lim_{x \to \infty} ({x}^\frac{1}{3} \cdot{(x+3)}^\frac{2}{3}-{x})  \)

[testtest]

\( 2 \)

[BOKAJIUCT]

А что именно надо сделать чтобы найти его?

[renuar911]

Нужно сделать замену t=1/x и разложить выражение под пределом в ряд Тэйлора. Будем иметь (при t ->0):

\( t^{-\frac{1}{3}} (\frac{1}{t}+3)^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{t}=2-t+\frac{4t^2}{3}-\frac{7t^3}{3}+\frac{14t^4}{3}-\frac{91t^5}{9}+... \)

Остальное, думаю, ясно.

Вообще-то говоря, разложение в ряд Тэйлора - это самый общий метод определения предела. Им редко пользуются из-за громоздкости. Но иногда без него - как без рук.

[BOKAJIUCT]

Т.е. без применения ряда Тейлора не решить данный предел?

[renuar911]

Я пробовал и так, и сяк, - все оказывалось сложнее.
Хотя - нет. Можно привести к виду:

\( \frac{(3t+1)^{2/3}-1}{t} \)

И лопиталем получить 2

[BOKAJIUCT]

А если упростить замену и по правилу Лапиталя?

[BOKAJIUCT]

Спасибо огромное.

[renuar911]

Удачи! Теперь Вы имеете 2 метода решения