3 задачи по алгебре (зачёт через 1,5 часа)

[TaurusBrown]

Подскажите пожалуйста, кто знает, как решать задачи следующих типов:

1. Решить в кольце классов вычетов по модулю 319 уравнение:

165x = 99.         Здесь "165" и "99" - не числа, а классы.

2.  Найти остаток 119³⁰⁸³³  при делении на 630.  
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=119^30^8^33+mod+630

3. Для каждого целого числа a вычислить НОД (3a²-1, 3a+5)



что касается 3й задачи, то я могу применить алгоритм Евклида и если число получается простое - то это и есть ответ. Но если, как тут, число получается не простое? например здесь - 22, по-моему.

[testtest]

вот что я могу сказать по первой задаче

\( 165x + 319y = 99 \)
\( 15x + 29y = 9 \)
Алгоритм Евклида
\( 29 = 15 \cdot 1 + 14 \)
\( 15 = 14 \cdot 1 + 1 \)
\( 14 = 1 \cdot 14 + 0 \)
Частное решение
\( \begin{cases}
u = -1\\ v = 2\\ x0 = 18\\ y0 = -9
\end{cases}
 \)
Проверка
\( 29 \cdot (-9) + 15 \cdot 18 = 9 \)
Общее решение
\(
\begin{cases}
x = 18 + 29 t\\ y = -9 - 15 t
\end{cases}
 \)

[TaurusBrown]

Спасибо огромное.
исчерпытвающее описание.

[testtest]

по второй задаче - возводим 119 в степень и находим остаток.
\(
\begin{tabular}{|c|c|}
n-1 & $119^n (mod~ 630)$\\ 0 & 119\\ 1 & 301\\ 2 & 539\\ 3 & 511\\ 4 & 329\\ 5 & 91\\ 6 & 119
\end{tabular}
 \)
тогда вопрос - чему равно \( 30^{8^{33}} (mod~ 6) \)? очевидно, 0. т.е. достаточно остановиться на "нулевом" варианте. остаток для него равен 119.

[TaurusBrown]

Я не совсем понял, почему в левой колонке n-1, а не n...

[testtest]

для наглядности, чтобы точно увидеть что 0 = 6 (без шуток)

[TaurusBrown]

А, ну да, понял. спасибо

[testtest]

третье я не знаю как решать, и теории чисел у нас вообще никогда не было, поэтому дам таблицу:
\( \begin{tabular}{|c|c|}
a & GCD\\ 1 & 2\\ 2 & 11 \\ 3 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 2 \\ 6 & 1 \\ 7 & 2 \\ 8 & 1 \\ 9 & 2 \\ 10 & 1 \\ 11 & 2 \\ 12 & 1 \\ 13 & 22 \\ 14 & 1 \\ 15 & 2 \\ 16 & 1 \\ 17 & 2 \\ 18 & 1 \\ 19 & 2 \\ 20 & 1 \\ 21 & 2 \\ 22 & 1
\end{tabular} \)
далее по циклу.

если узнаешь у препода, или в лекциях увидишь - выложи сюда, мы тоже научимся.

[TaurusBrown]

В январе буду пересдавать, к этому времени я обязан разобраться. Тогда и напишу.
Спасибо ещё раз и
С Наступающим:)