Задача Коши для ДУ второго порядка. Существование и единственность решения

[DeadChild]

Здравствуйте! Очень нужна помощь.
Решить задачу Коши, выяснить вопрос о существовании единственности, найти максимальный интервал существоания этого решения.
\( x''-12x^2=0 \), \( x(0)=1/2 \), \( x'(0)=1 \)

В уравнении нет \( x' \). Делаем замену \( z=z(y)=x''(y) \) и подставить в начальное уравнение: \( z-12x^2=0 \). Так надо делать или я ошибаюсь?

[Dlacier]

Решение самого ду связано с эллиптическими функциями Вейерштрасса.

[DeadChild]

а можно конктретнее что сделать нужно?

[Alexdemath]

Здравствуйте! Очень нужна помощь.
Решить задачу Коши, выяснить вопрос о существовании единственности, найти максимальный интервал существоания этого решения.
\( x''-12x^2=0 \), \( x(0)=1/2 \), \( x'(0)=1 \)

В уравнении нет \( x' \). Делаем замену \( z=z(y)=x''(y) \) и подставить в начальное уравнение: \( z-12x^2=0 \). Так надо делать или я ошибаюсь?

Dlacier, чтобы решить эту задачу Коши, не обязательно находить общее решение уравнения, то есть можно обойтись без Вейерштрасса.


Надо сделать эту замену \( x'=p(x)~\Rightarrow~x''=p(x)p'(x) \) и после понижения порядка уравнения сразу находить значение константы \( C_1 \)

\( \usepackage[12pt]{extsizes}{pp'-12x^2=0~\Rightarrow~p\,dp=12x^2\,dx~\Rightarrow~\frac{p^2}{2}=4x^3+C_1~\Rightarrow~\frac{x'^2}{2}=4x^3+C_1} \)

\( \usepackage[12pt]{extsizes}{\left\{\!\begin{gathered}\frac{x'^2}{2}=4x^3+C_1,\hfill\\x(0)=\frac{1}{2},x'(0)=1\hfill\\\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~\frac{1^2}{2}=4{\left(\frac{1}{2}\right)\!}^3+C_1~\Leftrightarrow~C_1=0} \)

\( \usepackage[12pt]{extsizes}{\frac{x'^2}{2}=4x^3~\Rightarrow~x'=\pm2\sqrt2\,x^{3/2}~\Rightarrow~\frac{dx}{x^{3/2}}=\pm2\sqrt2\,dt~\Rightarrow~-\frac{2}{\sqrt{x}}=\pm2\sqrt2\,t+C_2} \)

\( \usepackage[12pt]{extsizes}{\left\{\!\begin{gathered}-\frac{2}{\sqrt{x}}=\pm2\sqrt2\,t+C_2,\hfill\\x(0)=\frac{1}{2},\hfill\\\end{gathered}\right.~\Leftrightarrow~-2\sqrt2=\pm2\sqrt2\cdot0+C_2~\Leftrightarrow~C_2=-2\sqrt2} \)

\( \usepackage[12pt]{extsizes}{-\frac{2}{\sqrt{x}}=\pm2\sqrt2\,t-2\sqrt2~\Rightarrow~\boxed{x_{1,2}=\frac{1}{2(t\pm1)^2}}} \)

[Dlacier]

Dlacier, чтобы решить эту задачу Коши, не обязательно находить общее решение уравнения, то есть можно обойтись без Вейерштрасса.

  действительно.)))

[DeadChild]

Теперь ясно! Спасибо!

[Alexdemath]

DeadChild, а Вы проверку не забыли сделать??

Решение \( x=\frac{1}{2(t+1)^2} \) не подходит, так как не удовлетворяет условию x'(0)=1

\( x'(t)=-\frac{1}{(t+1)^3}~\Rightarrow~x'(0)=-\frac{1}{(0+1)^3}=-1\ne1 \)

[DeadChild]

Да, все сделала и сдала!