Найти радиус основания и высоту цилиндра? решить задачу через производную

[lop]

Помогите пож, решить геометр. задачу через производную,
Задача:
 В конус, радиус которого равен R, а высота H, вписан цилиндр наибольшего обема. Найти радиус основания и высоту этого цилиндра.

V (конуса)= 1/3 П*(R^2)*Н
V (цилиндра)= П*(R^2)*Н

[renuar911]

Можно рассмотреть плоскую задачу.
Если производную для S приравнять нулю, то получим оптимальное значение r=R/2, где R - радиус конуса, r - радиус цилиндра.


По образу и подобию можно решить и объемную задачу.

[renuar911]

Для объемной задачи уравнение такое. Объем цилиндра

\( V=\pi x^2 \left (H-\frac{H}{R}x \right ) \)

Производная:

\( V'=2\pi H x - 3 \pi \frac{H}{R}x^2 \)

Приравняв производную нулю, получим решение:

\( x = r = \frac{2}{3}R \)

[renuar911]

Высота цилиндра h:

\( h=H-\frac{H}{R}r = H-\frac{H}{R}\cdot \frac{2}{3}R= \frac{1}{3}H \)