помогите найти ур-е кривой 2-го порядка и определить вид кривой

[chernyubarsik]

Даны координаты точки А,ур-е прямой L и число \( \lambda  \).

A(0;0);ур-е L: 2х+5=0=>x=-5/2

\( \lambda =\frac{2}{3}  \)

Найти уравнение траектории точки М,которая движется в плоскости так,что отношение ее расстоянии до точки А и до прямой L равно \( \lambda \).по каноническому ур-ю определить фигуру и начертить ее


Мой вариант решения:
Пусть M(x;y)-произвольная точка на координатной плоскости,удовлетв.условию задачи,т.е:

\( \frac{|MA|}{|MK|}=\frac{2}{3} \Rightarrow 3|MA|=2|MK| \)

где К-осн-е перпендикуляра,опущенного из точки М на прямую 2x+5=0. Т.к.К лежит на прямой 2х+5=0,то Хк=-5/2=>K(-5/2;y)

Запишем усл-е:3|MA|=2|MK| в координатной форме,используя ф-лу для длины отрезка:

\( |AB|=\sqrt{\left( x_{b}-x_{a}\right)^{2}+\left( y_{b}-y_{a}\right)^{2}} \)

\( 3\sqrt{\left( x-0\right)^{2}+\left( y-0\right)^{2}}=2\sqrt{\left( x-\left( -\frac{5}{2}\right)\right)^{2}+\left( y-y\right)^{2}} \)-это ур-е искомой траектории,т.к. ему удовл.координаты любой точки М(х;у) на этой траектории. решим данное ур-е:

\( 3\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2\sqrt{\left( x+\frac{5}{2}\right)^{2}} \)

\( 9\left( x^{2}+y^{2}\right)=4\left( x+\frac{5}{2}\right)^{2} \)

\( 9x^{2}+9y^{2}-4\left( x^{2}+5x+\frac{25}{4}\right)=0 \)

\( 5x^{2}+9y^{2}-20x-25=0 \)

дальше решить не получается((((((((((((((не могу привести ур-е к каноническому виду и определить кривую 2-го порядка((((((может в решении где ошиблась???подскажите пожалуйста

[renuar911]

Выделяя полный квадрат, получим:

\( 5(x-2)^2+9y^2=20+25 \)

Теперь можно привести к каноническому виду эллипса:

\( \frac{(x-2)^2}{3^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{5})^2}=1 \)

Построить эту кривую легко по уравнениям (пользуйтесь графредактором ссылка ):

\( y=\pm \sqrt{5-\frac{5}{9}(x-2)^2} \)