Помогите с пределом.

[Denis__05]

Вот перед сессией начал готовиться и понял что совсем забыл пределы. Помогите разобраться пожалуйста)
Скажите с чего начать. Ясно видно что нужно использовать 1 замечательный предел, но как к нему подойти?

[Dimka1]

воспользуйтесь эквивалентными бесконечно малыми

[renuar911]

Гораздо интересней более общий предел:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{1+\sin(a_1 x)-\cos(a_2 x)}{1+\sin(a_3 x)-\cos(a_4 x)} \)

Делаем эквивалентные замены:

\( \sin(a_1 x) \sim a_1 x ; \qquad \sin(a_3 x) \sim a_3 x \)

Косинусы при x=0 станут единицами и поэтому предел будет равен

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{1+\sin(a_1 x)-\cos(a_2 x)}{1+\sin(a_3 x)-\cos(a_4 x)}=\frac{a_1}{a_3} \)

Ваш же частный пример делайте по образу и подобию моему.

[Denis__05]

Вот оно как! спасибо)

[Denis__05]

эээ сейчас прочитал условие и тпм написано что нужно решить через 1 замечательный предел. Хоть кто нибудь скажите как решить этим способом?

[Dimka1]

После подстановки 0 у Вас выражение равно sin(a1x)/sin(a3x). Домножте и разделите на соответствующие аргументы и выделите 1 замечательный предел

[renuar911]

Если только в знаменателе сделать эквивалетную замену, то автоматически получите первый замечательный

[Denis__05]

Блин объясните поподробнее я совсем не догоняю(

Если только в знаменателе сделать эквивалетную замену, то автоматически получите первый замечательный

Помоему ничего хорошего там не получается...

После подстановки 0 у Вас выражение равно sin(a1x)/sin(a3x). Домножте и разделите на соответствующие аргументы и выделите 1 замечательный предел

после подстановки 0 получается неопределенность 0/0

[Alexdemath]

Вот перед сессией начал готовиться и понял что совсем забыл пределы. Помогите разобраться пожалуйста)
Скажите с чего начать. Ясно видно что нужно использовать 1 замечательный предел, но как к нему подойти?

Подсказка

\( \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1+\sin{x}-\cos{x}}{1+\sin{x}-\cos{px}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2\cdot\dfrac{1-\cos{x}}{2}+\sin{x}}{2\cdot\dfrac{1-\cos{px}}{2}+\sin{x}}= \)

\( =\lim\limits_{x\to0}\dfrac{2\sin^2\dfrac{x}{2}+\sin{x}}{2\sin^2\dfrac{px}{2}+\sin{x}}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\dfrac{x}{2}{\!\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)\!}^2+\dfrac{\sin{x}}{x}}{\dfrac{p^2x}{2}{\!\left(\dfrac{\sin(px/2)}{px/2}\right)\!}^2+\dfrac{\sin{x}}{x}}=\cdots \)

[renuar911]

Ваш пример:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{1+\sin( x)-\cos( x)}{1+\sin( x)-\cos(p x)}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{1-\cos(x)+ \sin( x)}{1-\cos(px)+ x} \quad \to \lim \limits_{x \to 0}\frac{ \sin(x)}{x}=1  \)

[Denis__05]

все разобрался.