Тригонометрия, помогите решить упростить

[rukola]

Помогите решить sin(1/2arcctg(-3/4) упростить

[tig81]

Что делали? Что не получается?

[renuar911]

Интересно решить задачу в общем виде. Нам нужно, чтобы структура формулы оказалась такой:

\( \sin[\arcsin(y)]= y \)

Нужно найти y.

Из тригонометрии известно:

\( \frac{1}{2}arcctg(x)=\frac{1}{2}\arcsin \left (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right ) \)

\( \arcsin(y)=\frac{1}{2}\arcsin(2y \sqrt{1-y^2}) \)

Параметр y, следовательно, ищем из уравнения:

\( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=2y \sqrt{1-y^2} \)

Решения такие:

\( y_{1,2}=\frac{\sqrt{x^2+1 \pm \sqrt{x^4+x^2}}}{\sqrt{2x^2+2}} \)

Если подставить x=-3/4, то

\( y_1=\frac{1}{\sqrt{5}} ; \qquad y_2=\frac{2}{\sqrt{5}} \)

Если построить график, то увидим, что верен второй корень, то есть все выражение равно

\( \frac{2}{\sqrt{5}}=0.8944271911... \)

[Alexdemath]

оба ответа неверны

[Asix]

Alexdemath, поясни пожалуйста.

[renuar911]

Вот так задачка. Проверяем азы функций.

[Alexdemath]

Здесь как-то не так

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(1/2*cot^(-1)(-3/4))

Не пойму, в чём дело((

[renuar911]

У Вольфрама график неверный.
ссылка
В нуле скачок. Нормальные графредакторы пишут гладкую линию. В частности , в Maple  и в ссылка
Проверил вычисления в Yabasic - мой ответ верен.
y=sin(1/2*(pi/2-atan(-3/4)))
print y

Печатает 0,894427

Так что иногда Вольфрам врет. Это я и раньше замечал.

[renuar911]

Да, действительно. Вольфрам даже арккотангенс рисует с разрывом  см. ссылка
Хотя арктангенс чертит верно: ссылка
На деле функция гладкая (см. хотя бы в http://ru.wikipedia.org/wiki/Обратные_тригонометрические_функции ).

Разбор формул на графике доказывает мою правоту