Решить матричное уравнение

[chev]

Уравнение вида AX=B
Матрица А вырождения, т.е. определитель равен нулю, а поэтому обратной матрицы не существует. А в книге решения матричных уравнений показаны только с помощью обратных матриц.

Я записал матрицу X как матрица 3x2 с элементами
x₁ x₂
x₃ x₄
x₅ x₆
Перемножил матрицы A и Х и получил систему с шестью уравнениями.
Записал расширенную матрицу полученной системы.
Привел ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.
r(A)=r(A|B)=5<6=n, где n кол-во неизвестных. Система совместна и неопределенна.
Кол-во главных переменных равно r(A)=5, а свободных n-r(A)=6-5=1

Теперь нужно найти минор размера 5x5, определитель которого не равен нулю.
Но такого нет минора. Подскажите, пожалуйста.
А вообще правильный ли я способ решения использую?

[tig81]

Теперь нужно найти минор размера 5x5, определитель которого не равен нулю.

А зачем нужен этот минор?

[chev]

tig81

Я предполагаю, что минор нужен для того, чтобы определить какие переменные главные, а какие свободные.
Из книги:

Базисным минором матриц A и (A|B), является, например, минор составленный из элементов этих матриц, расположенных в первых r строках и столбцах с номерами 1,k₂,k₃,...,k_r. Назовем базисными(или главными) r переменных x₁,x_k1,x_k2,x_k3,...,x_kr, а остальные n-r переменных назовем свободными. Без ограничения общности можно предположить, что главными переменными являются x₁,_x2,x₃,...,x_r, а свободными - x_r+1,...,x_n.

Но тут не сказано на счет определителя этого минора, а в единственных двух примерах решения задач, в которых r(A) = 2(главные элементы), написано, что надо взять минор, определитель которого не равен 0 и его столбцы - n-й и n+1-й столбцы матрицы A - соответствуют переменным x_n и x_n+1, а остальные - свободные переменные.

В моем же случае r(A)=5, т.е. 5 главных элементов, значит надо, как я предполагаю, взять минор 5 порядка, определитель которого не равен 0. И те переменные, соответствующие столбцам минора, будут главными, а остальные свободными.

[tig81]

я бы так глубоко не внедрялась, а выбрала бы одну переменную и через нее выразила бы остальные. Вам эе минор выбирать необязательно?!

[chev]

Возьмем, например, пример решения из книги.
Там после преобразования к ступенчатому виду получилось вот что:
r(A)=r(A|B)=2<3=n
{x₁+x₂-x₃=-4
{x₂-2*x₃=4
По минору выяснили, что x₁ и x₂ главные переменные, а x₃ свободная переменная.
Тогда x₃ обозначили как t и ответ получился такой:
x₁=-t-8
x₂=2*t+4
x₃=t

Если, как вы сказали, взять любую переменную за t, например, x₁=t, то ответ был бы таким
x₁=t
x₂=-2*t-12
x₃=-t-8
Что не совпадает с первым ответом.
Хотя в этом примере можно было взять другой минор, определитель которого не равен 0,  и получилось, что x₁=t.
Можно было взять и еще один минор, тогда бы x₂=t.
В книге не написано можно ли брать любой минор, определитель которого не равен нулю, тогда возможно все три варианта ответов правильны.
А что делать, если у всех миноров определители равны нулю?

[tig81]

x₁=t
x₂=-2*t-12
x₃=-t-8

как такое получили?

И понятно. что выражения не совпадут. т.к. разные переменные обозначены t, но при подстановке t будет получать одни и те же наборы.

[chev]

{x₁+x₂-x₃=-4
{x₂-2*x₃=4

x₂=2*x₃+4
x₁+2*x₃+4-x₃=-4
x₁=-x₃-8
x₃=-x₁-8
x₂=-2*(x₁-8)+4
x₂=-2*x₁-2*8+4
x₂=-2*x₁-12

x₁=t
x₂=-2*t-12
x₃=-t-8

А у меня все миноры имеют определители равные нулю.

[tig81]

x₁=t
x₂=2*t-12
x₃=-t-8

Подставляем в первое уравнение x₁+x₂-x₃=-4
t+2t-12+t+8=-4
4t-4=-4
Верное равенство?

[chev]

Я исправил знаки
x₁=t
x₂=-2*t-12
x₃=-t-8

t-2*t-12+t+8=4

[tig81]

x1=t
x2=-2*t-12
x3=-t-8
При  t=0 получаем решение (0; -12; -8)

x1=-t-8
x2=2*t+4
x3=t
Решение (0; -12; -8) получим при t=-8.

Нормально.

Что вам не понравилось?

[chev]

Понятно. Но у миноров в моей задаче определители равны нулю

[tig81]

Понятно. Но у миноров в моей задаче определители равны нулю

Покажите, какой результат получили. А еще лучше все решение, а то заочно трудно разговаривать.

[chev]

Матрицу X расписал как

x1	x2
x3	x4
x5	x6

Перемножаю A и X
x₁-2*x₃+x₅=2
x₂-2*x₄+x₆=-4
-x₁-x₃+5*x₅=4
-x₂-x₄+5*x₆=-2
-3*x₁+3*x₃+3*x₅=0
-3*x₂+3*x₄+3*x₆=6

Переписываю в расширенную матрицу и привожу к ступенчатому виду:
1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
-1  0   -1   0   5   0   | 4
0  -1   0   -1   0   5   | -2
-3  0   3    0   3    0  |  0
0  -3   0    3   0    3  |  6

5 и 6 строку делю на 3

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
-1  0   -1   0   5   0   | 4
0  -1   0   -1   0   5   | -2
-1  0   1    0   1    0  |  0
0  -1   0    1   0    1  |  2

5 строку меняю местами со 2 строкой

1   0   -2   0    1    0   |  2
-1  0    1    0   1    0  |  0
-1  0   -1   0    5   0   | 4
0  -1    0   -1   0   5   | -2
0   1    0   -2   0   1   | -4
0  -1    0    1   0    1  |  2

Ко 2 и 3 строке прибавляю первую строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -3   0   6   0   |  6
0  -1   0   -1   0   5   | -2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0  -1   0    1   0    1  |  2

3 строку делю на 3

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -1   0   2   0   |  2
0  -1   0   -1   0   5   | -2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0  -1   0    1   0    1  |  2

меняю местами 2 и 5 строку, потом 3 и 6 строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0  -1   0    1   0    1  |  2
0  -1   0   -1   0   5   | -2
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -1   0   2   0   |  2

К 3 и 4 строке прибавляю 2 сроку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   0   -1   0   2   | -2
0   0   0   -3   0   6   | -6
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -1   0   2   0   |  2

делю 4 строку на 3

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   0   -1   0   2   | -2
0   0   0   -1   0   2   | -3
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -1   0   2   0   |  2

Меняю местами 3 строку и 5, потом 4 и 6

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   -1   0   2    0  |  2
0   0   -1   0   2   0   |  2
0   0   0   -1   0   2   | -2
0   0   0   -1   0   2   | -3

Прибавляю к 4 строке 3 строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   -1   0   2   0  |  2
0   0   0    0   4   0   |  4
0   0   0   -1   0   2   | -2
0   0   0   -1   0   2   | -3

Меняю местами 4 и 6 строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   -1   0   2   0  |  2
0   0   0   -1   0   2   | -3
0   0   0   -1   0   2   | -2
0   0   0    0   4   0   |  4

прибавляю к 5 строке 4 строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   -1   0   2   0  |  2
0   0   0   -1   0   2   | -3
0   0   0    0   0   4   | -5
0   0   0    0   4   0   |  4

Меняю местами 5 и 6 строку

1   0   -2   0   1   0   |  2
0   1   0   -2   0   1   | -4
0   0   -1   0   2   0   |  2
0   0   0   -1   0   2   | -3
0   0   0    0   4   0   |  4
0   0   0    0   0   4   | -5

r(A)=r(A|B)=n, следовательно, система совместна и имеет одно решение.
Часто при больших вычислениях у меня получаются ошибки.
Вот то что я тут написал не сошлось с тем, что я написал в тетрадке.

Сейчас проверю, умножив A на полученную матрицу X.

[tig81]

Вроде ранг полученной расширенной матрицы равен 4 получается.

[chev]

В той, что я сейчас написал, ранг будет 6. Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Или вы сами привели к ступенчатому виду расширенную матрицу?

Проверил. Получилось не правильно(