Пределы без помощи правила Лопиталя

[darena]

Здравствуйте, можете помочь как решить данный предел. Пыталась находить производные какая-то чушь выходит; а делить на старшую степень здесь не получается... в общем я в растерянности...

〖lim┬(x→∞) (〖(x+3)/(x+4)〗)^-2x=?  

[Dimka1]

выделите целую часть в скобках и приведите ко 2 замечательному пределу

[darena]

Как понять 1)"выделить целую часть в скобках" и 2)насчет 2-го замечательного предела, значит предел приравнять к числе е?

[Dimka1]

Как понять 1)"выделить целую часть в скобках"  е?

разделить числитель на знаменатель уголком

[renuar911]

Я бы просто сделал замену t=x+4

[tig81]

разделить числитель на знаменатель уголком

Или в скобках прибавить и отнять 1.

[darena]

получается либо 1-1\(х+4) либо если через через замену р=х+4:  (р-1)\р. А что же дальше?производные находить?

[Dimka1]

приводить ко 2 замечательному пределу

[darena]

а вы можете пояснить хотя бы как привести...а то в интернете я читала, но не поняла.. там в формуле значится что предел приравнивается числу е..

[Dimka1]

а вы можете пояснить хотя бы как привести...а то в интернете я читала, но не поняла.. там в формуле значится что предел приравнивается числу е..

(   1+(-1)/(x+4)   )^ (  [-2*x*(-1)/(x+4)]*[(x+4)/(-1)]   )=e^(2x/(x+4))=e^2

[darena]

скажите, пожалуйста, а вы не можете сказать по какой формуле вы привели эту часть выражения (1+(-1)/(x+4))    в такую степень   ( [-2*x*(-1)/(x+4)]*[(x+4)/(-1)]) ? И почему вы приравниваете следующие 2 выражения   e^(2x/(x+4))=e^2   ?

[renuar911]

Чтобы узнать точный ответ, воспользуйтесь моей формулой:

\( \lim \limits_{x \to \infty}\left ( \frac{bx+a}{bx+c}\right )^{kx}=e^{\frac{k}{b}(a-c)}  \)

У Вас b=1; a=3; c=4; k=-2

Если подставить, получится просто

\( e^{-2/1 (3-4)}= e^2  \)

К такому же результату быстро придете если сделаете замену t=x+4, то есть всюду вместо x ставите t-4. При этом предел останется прежним:

\( t \to \infty \)

[darena]

надо же как просто!!!   спасибо! а это и есть- формула обращения ко 2 замечательному пределу?

[renuar911]

Да, из моей формулы приходим ко второму замечательному. Но поскольку мне лень каждый раз делать преобразования, я для себя вывел такую удобную форму. Ответ получается сразу. Запиши его себе в шпаргалку и наверняка пригодится. Хотя бы чтобы знать правильный ответ.