Помогите решить диф. уравнение

[_Алиса_]

Привет всем. Очень нужна помощь в решении диф.уравнения y'+2y=(y^2)*e^x    а так же разложении его в ряд тейлора.
Проходила это год назад, а теперь не помню уже ничего =( По Вычислительной математике осталась последняя лабораторная работа (во всех остальных практически не требовались знания мат. анализа). Пожалуйста помогите, ну вот вообще ничего в голове про диф. уравнения не отложилось

[Dlacier]

Поделите выражение на \( y^2 \), сделайте замену \( y=\frac{1}{u} \).
Решайте полученное ДУ относительно новой функции \( u(x) \).

[_Алиса_]

Спасибо большое, сейчас попробую

[Dlacier]

На здоровье)

[_Алиса_]

Вообщем через такую замену получается неправельно, ибо ответ получается 2\(e^(x) + 1), а у меня дано условие y(0)=0.5 и этот ответ не подходит под это условие. Решила с помощью интернета получилось e^(-x)/(e^(x)+1) и тогда все сходится с условием. НО возникла проблема с разложением в ряд, я разложила, всё правельно, но лаба делается на маткаде и получается что разложение в ряд e^(-x)/(e^(x)+1) дает тот же ряд что получила я и получил сам маткад при разложении исходной функции, НО с другими знаками(т.е. все знаки наоборот + и -). Подскажите пожалйста в чём дело, либо скажите как можно решить уравнение так, чтобы получился ответ e^(-x)/(e^(x)+1) и я уже завтра смогла все выяснить у преподователя.

[Dlacier]

Ничего о верности/неверности решения сказать не могу, т.к. не наблюдаю его здесь.
Пишите свое решение, тогда уже можно будет что-то сказать.

P.S. Формулы набирайте в Техе.
_________________________________________________________________________

Дробь - \frac{ числитель }{ знаменатель }
Степень - ^{ то что в степени }
Нижний индекс - _{ то что в индексе }
Квадратный корень - \sqrt{ то что под корнем }
Производная (штрих) - ^\prime
Умножение - \cdot


Формулы заключать нужно в [tex ] [/tex] и нельзя при написании формул использовать кириллицу.

[_Алиса_]

\( y'+2y=y^{2}e^{x} \)
делим на \( y^{2} \)
Получаем \( \frac{y'}{y^{2}}+\frac{2}{y}=e^{x} \)
Пусть \( y=\frac{1}{u} \)
Тогда \( y'=\frac{-1}{u^{2}} \)
Получаем \( \frac{-1}{u^{2}}:\frac{1}{u^{2}}+2u=e^{x} \)
\( 2u=e^{x}+1 \)
\( \frac{2}{y}=e^{x}+1 \)
\( y=\frac{2}{e^{x}+1} \)
при x=0 y=1 а условие что при х=0 у=0.5

[Dlacier]

\( y'+2y=y^{2}e^{x} \)
делим на \( y^{2} \)
Получаем \( \frac{y'}{y^{2}}+\frac{2}{y}=e^{x} \)
Пусть \( y=\frac{1}{u} \)
Тогда \( y'=\frac{-1}{u^{2}} \)

А где \( u^\prime \)?

[_Алиса_]

не особо понимаю зачем здесь u'=(

[Dlacier]

\( y=y(x) \)
\( x \) обычно опускается (чтобы не загромождать записи), но всегда подразумевается!
Что есть \( y^\prime \)?
\( y^\prime=\frac{dy}{dx} \).

Вы сделали замену
\( y(x)=\frac{1}{u(x)} \)
где \( u(x) \) функция от \( x \).

\( y^\prime(x)=\frac{dy(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{u(x)}\right)=\ldots \)