найти интергал

[MARS]

int(dx)/[(sin(x)+cos(x))]
подскажите как с ним бороться?

[Asix]

Если в лоб, то можно воспользоваться универсальной тригонометрической подставновкой =))

[renuar911]

Я бы применил метод Юниса:

\( a \sin{x}+b \cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{\left (x+\arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\right )} \)

В нашем случае

\( \sin{x}+cos{x}=\sqrt{2} \sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right )} \)

Тогда

\( \int \frac{dx}{\sqrt{2} \sin{\left (x+\frac {\pi}{4}\right )}}=\frac{\sqrt{2}}{2} ln \left | \frac{\sin{\left (x+\frac {\pi}{4}\right )}}{1+\cos{\left (x+\frac {\pi}{4}\right )}}\right |+ C \)

Можно и через тангенс половинного угла, как в   http://www.webmath.ru/poleznoe/integral_tables.php

\( \int \frac{dx}{\sqrt{2} \sin{\left (x+\frac {\pi}{4}\right )}}=\frac{\sqrt{2}}{2} ln \left | tg \left (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8} \right ) \right | + C \)

[MARS]

воспользовалась подстановкой тригонометрической ))) и всё получилось) Спасибо!)

[renuar911]

А что именно получилось? Хотелось бы сравнить.

Дело в том, что Мапл дал ответ через гиперболический арктангенс:

\( \sqrt{2} Arth \left [ \frac{\sqrt{2}}{4}[2tg (x/2-2)]\right ] \)

При этом графики моего ответа и приведенного здесь немного не совпадают. Вот я и гадаю: кто же ошибается?

[renuar911]

Еще больше удивил Вольфрам. Решение на самом деле комплексное:

\( (-1)^{3/4}(-1-i)Arth \left[\frac{1}{\sqrt{2}}[tg(x/2)-1]\right]+C \)



То есть реально существуют левые ветви, а правые ветви - комплексные.