Решение ОДУ

[Casper]

Здравсвтуйте!
Никак не могу решить ду второго порядка. Знаю окончательный результат, но прийти к нему не получается. Не знаю каким способом найти решение даже однородного уравнения.

\( x y^\prime^\prime+4y^\prime+xy=3 \)

Уравнение на первый взгляд несложное и пробывал делать различные подстановки типа \( y=\frac{u}{x^3} \), но все они приводят меня к аналогичному уравнению.
Буду благодарен любой подсказке.

[renuar911]

Если Вашу подстановку сделать, то

\( u=C_1(x \sin{x}+\cos{x})+C_2(x \cos{x}-\sin{x})+6+3x^2 \)

[Casper]

Не понимаю.
Если
\( y=\frac{u}{x^3} \)
\( y^\prime=\frac{u^\prime}{x^3}-3\frac{u}{x^4} \)
\( y^\prime^\prime=\frac{u^\prime^\prime}{x^3}-6\frac{u^\prime}{x^4}+12\frac{u}{x^5} \)
тогда после подстановки
\( \frac{u^\prime^\prime}{x^2}-6\frac{u^\prime}{x^3}+12\frac{u}{x^4}+4\frac{u^\prime}{x^3}-12\frac{u}{x^4}+\frac{u}{x^2}=3 \)
\( xu^\prime^\prime-2 u^\prime+xu=3x^3 \)

Объясните, пожалуйста, как вы получили

\( u=C_1(x \sin{x}+\cos{x})+C_2(x \cos{x}-\sin{x})+6+3x^2 \)

[renuar911]

У меня свой метод. Я для общего уравнения

\( xy''+4y'+xy=0 \)

воспользовался Вашей подстановкой,  и производную u' принял в виде

\( u'=x(A \sin{x}+B \cos{x}) \)

Проект прошел. Ну а уж частное решение подобрать труда не составило.

[Casper]

У меня свой метод.

Он засекречен?)

Я для общего уравнения

\( xy''+4y'+xy=0 \)

воспользовался Вашей подстановкой,  и производную u' принял в виде

\( u'=x(A \sin{x}+B \cos{x}) \)

В этом и главный вопрос: В каком виде искать решение.
Из каких соображений функция ищется именно в таком виде? Почему решили искать его именно в такой комбинации, почему тригонометрические функции? Ведь должен быть некий общий подход к решению таких задач. Из самого уравнения это очевидным образом не вытекает, должна же быть прозрачность в решении...

[renuar911]

Я уже давно объяснял: у меня прога, которая комбинаторно перебирает около 150 различных функций. Если удается среди них обнаружить нужную, то решение находится. В данном случае повезло. Вы ведь просили любую подсказку, а я нашел аж целое решение
Сейчас готовлю книгу, где постараюсь подробно изложить метод.

[Casper]

Вы ведь просили любую подсказку, а я нашел аж целое решение

Возможно я неверно выразился.
Я также как и вы решал в программе, но без нее, самостоятельно решить я вряд ли бы сумел.

Меня прежде всего интересует решение так сказать вручную.
Есть ли некие способы, алгоритмы решения подобных задач?
ПО сути ничего супер сложного как в ответе так и в самой задаче нет.

А вам, renuar911, спасибо за уделенное время.)