несобственный интеграл

[NELL]

Помогите пожалуйста решить интеграл
итеграл от 0 до +бесконечности ((x*sin(x))/(x^2+8))dx
(Простите, ТЕХом не владею)
Могу сказать, что это несобственный интеграл 1 рода и больше нечего мне сказать.

[tig81]

Какое задание?

Вот полезный теоретический материал для решения интегралов:
Таблица интегралов
Свойства интегралов
Формулы интегрирования

[NELL]

Ну, вычислить несобственный интеграл

[renuar911]

\( \frac{\pi}{2}e^{-2 \sqrt{2}} \)

[Dlacier]

\( \frac{\pi}{2}e^{-2 \sqrt{2}} \)

Думаю ТС важно и само решение.)

[renuar911]

Часто ответ помогает догадаться о способе его получения.

[Dlacier]

Часто ответ помогает догадаться о способе его получения.

Не спорю.)
А вы знаете как получить ответ (без помощи пакета)?

[renuar911]

Интегралы люблю брать ручкой. Цепочка длинная, привожу лишь промежуточные этапы:

\( \int \limits_{0}^{\infty}\frac{x \cdot \sin{x}}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{\infty}\frac{\sin{\sqrt{t}}}{t+8}dt=\frac{\pi}{2}(ch\sqrt{8}-sh{\sqrt{8})=\frac{\pi}{2}e^{-\sqrt{8}} \)

Но вообще-то, любому математику должен быть знаком весьма распространенный интеграл:

\( \int \limits_{0}^{\infty}\frac{x \cdot \sin{bx}}{x^2+z^2}dx=\frac{\pi}{2}e^{-bz} \)

Я, во всяком случае, в своих практических задачах пользовался им не один десяток раз. Он присутствует и в моих "табличных интегралах". Их у меня не 7-15, как обычно, а 124.

[NELL]

Я наверное не совсем поняла вас, как вы перешли от \( x \) к \( t \) и далее тоже мне непонятно, как решили последний интеграл

[Dimka1]

Я наверное не совсем поняла вас, как вы перешли от \( x \) к \( t \) и далее тоже мне непонятно, как решили последний интеграл

x^2 подвел под знак дифференциала и затем переобозначил x^2=t

[NELL]

Все, этот момент я поняла. Спасибо! А дальше? 

[Dimka1]

а дальше пользуются готовыми интегралами, котороые уже кто-то посчитал.