Сервис - Примеры решения задач, обсуждения

[tig81]

Ну попробую, конечно.

Интегралы по методу решения:
1) Метод непосредственного интегрирования
2) Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
3) Метод интегрирования по частям
4) Универсальная тригонометрическая подстановка
5) Дробно-линейная подстановка

Интегралы по скруктуре:
1) Интегралы от рациональных функций
2) Интегралы от рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
3) Интегралы рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
3) Интегралы от иррациональных функций (в т.ч. подстановки Эйлера)
4) Интегрирование тригонометрических функций:
- интегрирование выражений \( \sin{kx}\cos{lx},\,\cos{kx}\cos{lx},\,\sin{kx}\sin{lx} \)
- интегрирование выражений \( \sin^{m}{x}\cos^{n}{x} \)
- интегрирование четных степеней синуса и косинуса
- интегрирование выражений \( \sin^{2m}{x}\cos^{2n}{x} \)
- интегрирование выражений \( R(\sin{x}; \cos{x}) \)
5) Интегрирование дифференциального бинома
Еще мне нравится структура примеров здесь

[tig81]

1) Метод непосредственного интегрирования
\( \int\frac{(\sqrt{x}+1)dx}{x} \)
2) Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
\( \int\frac{\ln{x}dx}{x} \)
3) Метод интегрирования по частям
\( \int{xe^xdx} \)
4) Универсальная тригонометрическая подстановка
\( \int\frac{dx}{\cos{x}(1-\sin{x})} \)
5) Дробно-линейная подстановка
Asix, тут уточните, пожалуйста, что вы имеете в виду.
Интегралы по скруктуре:
1) Интегралы от рациональных функций
\( \int\frac{(2x+2)dx}{x^2+2x-13} \)
2) Интегралы от рациональных функций с простыми вещественными корнями знаменателя
\( \int\frac{(3x^2-4x+9)dx}{x(x+3)(x-9)} \)
3) Интегралы рациональных функций с кратными вещественными корнями знаменателя
\( \int\frac{(3x^2-4x+9)dx}{x^2(x+3)^2(x-9)} \)
3) Интегралы от иррациональных функций (в т.ч. подстановки Эйлера)
\( \int\frac{\sqrt[3]{x}dx}{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x}} \)
\( \int\frac{dx}{\sqrt{2x^2+3x+7}} \)
\( \int\frac{(3x-7)dx}{\sqrt{2x^2+3x+7}} \)
\( \int\frac{P_n(x)dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}} \)
\( \int\frac{dx}{(x+k)^p\sqrt{ax^2+bx+c}} \)
\( \int\frac{(Mx+N)(x)dx}{(Ax^2+Bx+C)^m\sqrt{ax^2+bx+c}} \)
4) Интегрирование тригонометрических функций:
- интегрирование выражений \( \sin{kx}\cos{lx},\,\cos{kx}\cos{lx},\,\sin{kx}\sin{lx} \)
 \( \int\sin{3x}\cos{2x}dx \)
 \( \int\cos{3x}\cos{2x}dx \)
 \( \int\sin{3x}\sin{2x}dx \)
- интегрирование выражений \( \sin^{m}{x}\cos^{n}{x} \)
\( \int\sin^4{x}\cos^3{x}dx \)
\( \int\sin^5{x}\cos^2{x}dx \)
\( \int\frac{\sin^4{x}dx}{\cos^8{x}} \)
\( \int\frac{\sin^4{x}dx}{\cos^4{x}} \)
- интегрирование четных степеней синуса и косинуса
\( \int{\sin^4{x}dx} \)
- интегрирование выражений \( \sin^{2m}{x}\cos^{2n}{x} \)
\( \int{\sin^4{x}\cos^4{x}dx} \)
- интегрирование выражений \( R(\sin{x}; \cos{x}) \)
\( \int\frac{dx}{\sin^3{x}} \)
\( \int\frac{dx}{a^2\cos^2{x}+b^2\sin^2{x}} \)
\( \int\frac{\cos^5{x}dx}{\sin^4{x}} \)
\( \int\frac{dx}{\cos^2{x}\sin^3{x}} \)
5) Интегрирование дифференциального бинома
\( \int{x^n(ax^m+b)^pdx} \)

Фух...

[renuar911]

renuar911, это будет не просто ... =))

(Речь идет о пределах)

Имея мощные математические системы, можно быстро и качественно составить полную таблицу пределов. Вот пример одного из них, который я выявил за 5 минут:

\( \lim _{t\rightarrow 0}{\frac { \left( a+{\it b_1}\,t \right) ^{k}- \left( a+{\it b_2}\,t \right) ^{k}}{t}}={a}^{k-1}k \left( {\it b_1}-{\it b_2} \right)
 \)

Это общий вид. Его нужно просто доказать четко (либо мне самому, а если не сумею, - то с помощью коллег). Тогда целая группа частных пределов (их и дают студентам) легко вычисляется по выражению справа. Доказывать ответ  можно будет либо параллельно с описанным общим доказательством, либо дать ссылку на общую формулу и полностью списать доказательство. И то, и другое упрощает процесс усвоения материала, убыстряет выполнение задания и полностью исключает ошибки.

[Asix]

renuar911, я Вас плохо понимаю, я не очень углубленно знаю теорию пределов и сейчас сосредоточен немного на др вещах. Если вы считаете, что такое раздел важен, то мы будем его реализовывать, сейчас давайте направим все мысли и ресурсы на реализацию первого раздела примеров решения задач - вычисление интегралов. Когда мы удачно преодолеем данный рубеж, то у нас уже будет положительный опыт и реализация новых разделов пойдет как по маслу =)) 

[Asix]

tig81, большое спасибо за подробный список типов интегралов с примерами. Кто-то может что-то добавить? Новый тип интегралов? Если в ближайшее время не поступит правок, то мы начнем релизовывать примеры решения (вычисления) интегралов по данной структуре.

[tig81]

Пожалуйста.
Интегралы брались из Каплана, мне там также структура нравится.
Примеры я думаю должны быть разнообразны, т.е. на кажды тип можно привести по нескольку, например, по частям: многочлен на экспоненту, многочлен на синус/косинус, экспонента на синус/косинус и т.п.

[Alexdemath]

Ещё добавьте обязательно

Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода
Условная и абсолютная сходимость несобственных интегралов
Равномерная сходимость несобственных инегралов
Исследование сходимости несобственных интегралов с параметрами

[Asix]

Alexdemath, а куда это добавить? К неопределнным и опеделенным интегралам это добавлять нелья. Может добавим это в подраздел - применение интегралов?

[Alexdemath]

Asix, ни в коем случае не добавляй в подраздел "Применение интегралов"!

Отдельный раздел "Несобственные интегралы"

Тажке не забудь о двойных, тройных, криволинейных, поверхностных.

Это пособствует привлечению на форум не только студентов с халявных факультетов, но  и шарящих с физмат. факультетов.

[Asix]

Тут надо подумать, плодить подразделы тоже нельзя, слишком много - тоже не есть быть хорошо.

Я думаю мы сделаем набор неопределенных и определнных интегралов, описанные tig81 выше, затем переключимся на производные, пределы и полное исследование функций. Вопрос с остальными интегралами будет рассматриваться параллельно и набравшись опыта мы сможем более точно определить им место под солнцем =))

[renuar911]

Немного мы отстаем от современности, а нужно смотреть вперед. Вместо огромного числа видов интегралов всего-то нужен решебник интегралов, но особый. Сейчас как калькуляторы действуют? Заносится интеграл и выдается готовый ответ. В решебнике же желательно подробно, шаг за шагом расписать последоватьность интегрирования. Вот если бы такой ресурс найти в инете - это было бы что-то! Самим создать такую штуку, думаю, невозможно.

[Dimka1]

Немного мы отстаем от современности, а нужно смотреть вперед. Вместо огромного числа видов интегралов всего-то нужен решебник интегралов, но особый. Сейчас как калькуляторы действуют? Заносится интеграл и выдается готовый ответ. В решебнике же желательно подробно, шаг за шагом расписать последоватьность интегрирования. Вот если бы такой ресурс найти в инете - это было бы что-то! Самим создать такую штуку, думаю, невозможно.

да и не нужно, т.к. бессмысленность его очевидна.

[renuar911]

Нет, смысл есть. Тем более, что это уже имеется, например в ссылка  (взгляните на пример  - это то, я чем я твержу . Правда, этот ресурс платный - вот хитрецы!).
Сколько же можно учиться интегрированию по старинке? Я изучал азы интегрирования в 1968 году и с тех пор ничего не изменилось - те же учебники и справочники.

[Dimka1]

Сколько же можно учиться интегрированию по старинке? Я изучал азы интегрирования в 1968 году и с тех пор ничего не изменилось - те же учебники и справочники.

Основная задача студента - учиться развивать мышление, не терять навыки преобразования математических выражений, делать сопоставительный анализ, выявлять закономерности, делать упрощения. Это всё постигается только через тяжкий труд.

При наличии такого сервиса необходимость во всём вышеперечисленном отпадает, соттветственно предлагаемый сервис будет использован не для учебы, а для для списывания (получения готового решения). Ну что тут еще не понятно?

[renuar911]

Было время, когда ученые степени и звания выдавали за перемножение трехзначных римских чисел. Это тоже жутко развивало мышление и навык. Поэтому ваш консерватизм явно неуместен. Задача математиков - безошибочно находить решение. Когда твой конкретный пример подробно разбирается - происходит моментальное усвоение материала (не надо терять время на поиск лекций, книги, страницы, абзаца). Все остается, как было, но только в 10 раз быстрее.