Сколько корней имеет уравнение

[feelgood]

Сколько корней имеет уравнение
1/(x-1)²+1/(x-2)²=1/x²

Подскажите идею решения, пожалуйста. Кроме монотонности функций ничего в голову не приходит, но с монотонностью ничего не выходит.

Еще пыталась преобразовывать: делила числитель из знаменатель на x², дополняла до полного квадрата.

[renuar911]

Это уравнение эквивалентно полиному четвертой степени:

\( x^4-8x^2+12x-4=0 \)


Общего решения я не получил. Можно воспользоваться итерацией Ньютона

\( x_{n+1}=x_n- \frac{x_n^4-8x_n^2+12x_n-4}{4x_n^3-16x_n+12} \)

С помощью нее я нашел два действительных корня:

\( x_1=-3.43911... ; \qquad x_2=0.48638... \)

Существуют еще 2 комплексных корня:

\( x_3=1.47636 - 0.460077 i ; \qquad x_4=1.47636 + 0.460077 i  \)



График Вы можете построить при помощи нашей программы:
Построение графиков функций онлайн

[feelgood]

Спасибо Вам большое. Правда,  это задача из элементарной математики. Извините, что сразу не указала. Но все равно спасибо, буду пытаться раскладывать на множители. Или еще как-нибудь.

[renuar911]

Нет, не удастся. Даже мощные системы не дают элементарного ответа. Либо где-то опечатка.
Вот для

 1/(x+1)²-1/(x+2)²=1/x²

1/(x-1)²+1/(x-2)²=-1/x²

решения существуют в радикалах.

[feelgood]

Нет, не удастся. Даже мощные системы не дают элементарного ответа. Либо где-то опечатка.



Действительно, опечатка.Справа  в числителе вместо 1 должна быть 2. Еще раз прошу прощения.

[renuar911]

Ааааа! Ну это другое дело! Тогда приводится к кубическому уравнению:

\( 6x^3-21x^2+24x-8=0 \)

А оно решаемо. Например, мотодом Кордано. Хотя ответ жутко большой.

[feelgood]

Собственно говоря, меня интересует только количество корней, причем действительных. Спасибо за помощь.

[renuar911]

Вы постройте график по указанной выше ссылке и увидите, что будет один корень (действительный).

[feelgood]

Да я Вам верю. Только графический метод решения не подойдет. Вот, к примеру, если бы доказать, что полученная функция строго возрастает (или убывает).
 

[renuar911]

Тут сложней



Надо анализировать производные - то есть искать точку перегиба. Она попала в график.
Приравняйте нулю вторую производную, найдите ее и дальше ясен будет анализ.
Хотя и в уме нашел координату точки перегиба: x=7/6=1.166666

Вот в более крупном масштабе узел локальных экстремумов и точки перегиба

[feelgood]

Спасибо. Просто я имела в виду, что задача скорее всего предполагает какое-то "красивое" решение. Какая-нибудь удачная замена или что-то вроде того. Но теперь я, по крайней мере, знаю ответ. Уже немало.

[renuar911]

Если уж говорить о красоте (а я ее обожаю!) , то уравнение невероятно красиво смотрится в полярных координатах:

[feelgood]

Да, Вы настоящий эстет. Полярные координаты - это здорово и очень красиво. Но это школьные уравнение, а школьникам не так повезло, как Вам: они скорее всего ничего не слыхали о полярных координатах.