Помогите решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя

[Kilativ]

Помогите решить предел, не пользуясь правилом Лопиталя
          (2*x^2-9*x+4)
lim      -----------------
x->4  (sqrt(5-x)-sqrt(x-3))

Не получается избавится от корня

[lu]

\( \lim_{x\to4}{\frac{2x^2-9x+4}{\sqrt{5-x}-\sqrt{x-3}}}=\lim_{x\to4}{\frac{(2x^2-9x+4)(\sqrt{5-x}+\sqrt{x-3})}{(\sqrt{5-x}-\sqrt{x-3})(\sqrt{5-x}+\sqrt{x-3})}}=\{(a-b)(a+b)=a^2-b^2\}=\lim_{x\to4}{\frac{(x-4)(2x-1)(\sqrt{5-x}+\sqrt{x-3})}{(5-x)-(x+3)}}=... \)

[Kilativ]

В итоге ответ = 0 ? Всякие онлайн калькуляторы с исходного выражения дают ответ = -7...

Вы со знаком не ошиблись в знаменателе? (5-x)-(x+3), разве не (5-х)-(х-3)?

[renuar911]

Я проще:

[lu]

да ) там минус должен быть

[Kilativ]

2 renuar911:
Не понял, как из sqrt(1+t)+1 получилось t/2?

[renuar911]

Это не получилось - это известная эквивалентная замена. Ее просто нужно знать.
Точнее  sqrt(1+t)-1 ~  t/2
Советую выписать их для себя (например, с моей методички ссылка  - на стр. 7)

Или тут : ссылка

[Kilativ]

Еще один предел:

\( \lim_{x\to0}{\frac{cosx-cos^3x}{xsin{5x}}}=\lim_{x\to0}{\frac{cosx(1-cos^2x)}{5x^2}}=\lim_{x\to0}{\frac{cosx(1-cosx*cosx)}{5x^2}}=\lim_{x\to0}{\frac{\frac{x^2}{2}cos^2x}{5x^2}}=\frac{1}{10} \)

но ответ не верный (онлайн калькуляторы 1\5 показывают) в чем ошибка?

[renuar911]

Не буду ставить знака lim:

\( \frac{cos(x)[1-cos^2(x)]}{x \cdot sin(5x)}=\frac{cos(x) \cdot sin^2(x)}{x \cdot sin(5x)}=\frac{cos(x) \cdot x^2}{5 x^2}=\frac{1}{5} \)

[Kilativ]

\( \lim_{x\to1}{(2x-1)^\frac{2x}{x-1}} \)

x=t+1

\( \lim_{t\to0}{(2t+2-1)^\frac{2t+2}{t+1-1}}=\lim_{t\to0}{(2t+1)^\frac{2(t+1)}{t}} \)

что можно дальше сделать?

[renuar911]

Нужно просто завершить

\( \lim \limits_{t \to 0}(1+2t)^{\frac{2}{t}+2}=e^{2\cdot 2}=e^4 \)

Значительно более общую формулу второго замечательного предела я сформулировал для себя так:

\( \lim \limits_{X \to 0} (1+aX^n)^{bX^{-n}+cX^{-n+1}+dX^{-n+2}+...}=e^{ab} \)

Аналогичную формулу можно вывести и при X стремящемся к бесконечности.

\( \lim \limits_{X \to \infty} (1+aX^{-n})^{bX^{n}+cX^{n-1}+dX^{n-2}+...}=e^{ab} \)

Параметры  a  и  b  могут иметь любой знак.