Помогите вычислить пределы

[Aleksew]

Вычислить пределы


нужно подробное решение каждого примера

[renuar911]

Первый пост.
1) И числитель и знаменатель делим на x в максимальной степени:

\( \lim \limits_{x \to \infty}\frac{\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^3}}{1+\frac{6}{x}+\frac{8}{x^3}}= \frac{0+0+0}{1+0+0}=0 \)

2) Здесь предела, как раскрытия неопределенности, нет. Просто подставим x=4:

\( \lim \limits_{x \to 4}\frac{\sqrt{6x+1}-5}{\sqrt{x-2}}= \frac{0}{\sqrt{2}}=0 \)

3) Здесь используются эквивалентные замены

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{x \sin{3x}}{\cos{x}(1-\cos^2{x})}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x \sin{3x}}{\cos{x}\sin^2{x}}= \lim \limits_{x \to 0}\frac{x \cdot 3x}{\cos{x} \cdot x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{3}{\cos{x}}=3 \)

4) Приводится ко 2-му замечательному пределу. Делаем замену

\( x=t+1 \)

\( \lim \limits_{t \to 0}\left (2-t-1\right ) ^{\frac{2t+2}{1-t-1}}=\lim \limits_{t \to 0}\left (1+(-1)t \right ) ^{\frac{(-2)}{t}-2}=e^{(-1)\cdot (-2)}=e^2 \)