Помогите найти сумму ряда или подскажите с чего начать

[[email protected]]

1/((n+1)*(2n+1))

[renuar911]

Если n меняется от 0 до бесконечности, то это один из самых известных рядов, сумма которого равна 2ln(2). Поскольку ln(2) выражается не только знакопеременным рядом

\( ln(2)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} \)

но и

\( ln(2)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2(n+1)(2n+1)} \)

[[email protected]]

а если сумма с 1 до бесконечности?

[renuar911]

Ничего страшного не произойдет. Сумма будет просто на единичку меньше, то есть

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(2n+1)}=2 \ln (2) - 1 \)

[[email protected]]

я решила вот так

\( f(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(n+1)(2n+1)} \)

\( f '(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+1)x^{2n}}{(n+1)(2n+1)} \)

\( {x^2}f '(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n+2}}{n+1} \)

\( ({x^2}f '(x))'=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{2(n+1)x^{2n+1}}{n+1} \)

\( ({x^2}f '(x))'=2\sum \limits_{n=1}^{\infty}{x^{2n+1}} \)
раскладываем как геом. прогрессию:

\( ({x^2}f '(x))'=2(x^3+x^5+x^7+...+x^{2n+1}) \)
 а что сделать дальше не могу понять((( подскажите пожалуйста.