помогите пожалуйста с векторным полем

[ferkolana]

Добрый день! Проверьте пожалуйста мое решение.Не уверена в пределах интегрирования.

[ferkolana]

Может хоть кто-нибудь поделится мыслями ? Контрольную надо сдавать на этой неделе. Заранее спасибо.

[ferkolana]

Доброго вечера. Проверьте пожалуйста.
Дано:\(  F=(2z+y)i \)    \( P: 3x+y+4z=12 \)
Найти поток векторного поля через поверхность a в направлении \( \bar{n}  \)         \( (a \in{P}) \)
Решение: Ф=\( \int\int_{a}Pdydz=\int\int_{a}(2z+y)dydz=\int_{0}^{12}dy\int_{0}^{3-\frac{1}{4}y}(2z+y)dz=\int_{0}^{12}dy\int_{0}^{3-\frac{1}{4}y}(12-2z)dz=\int_{0}^{12}12(3-\frac{1}{4}y)-(3-\frac{1}{4}y)^2dy=27y-\frac{6}{8}y}^2-\frac{y^3}{16*3}/_{0}{12}=99 \)

[ferkolana]

Неужели никаких мыслей? Ни у кого?

[Евгений М.]

У нас в универе поток учили находить используя поверхностный интеграл первого рода.
А подынтегральное выражение - это скалярное произведение вектора силы и вектора нормали поверхности. Т.е.
\( \iint _ {S} \bar{F} \cdot \bar{n} \, dS = 3 \iint _ {S} (2z + y) dS \)
\( y = 12 - 3x - 4z \)
\( dS = \sqrt { \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 + \left(\frac{dy}{dz}\right)^2 } dzdx = \sqrt {26} \, dzdx \)
А дальше двойной интеграл по треугольнику (на плоскости Ozx)

[lu]

Дано:\(  F=(2z+y)i \)    \( P: 3x+y+4z=12 \)
Найти поток векторного поля через поверхность a в направлении \( \bar{n}  \)         \( (a \in{P}) \)
Решение: Ф=\( \int\int_{a}Pdydz=\int\int_{a}(2z+y)dydz=\int_{0}^{12}dy\int_{0}^{3-\frac{1}{4}y}(2z+y)dz=\int_{0}^{12}(z^2+yz)|_{0}^{3-\frac{y}{4}}dy= \)
\( \int_{0}^{12}((3-\frac{y}{4})^2+y(3-\frac{y}{4}))dy=\int_{0}^{12}(-\frac{3}{16}y^2+\frac{3}{2}y+9)dy=(-\frac{1}{16}y^3+\frac{3}{4}y^2+9y)|_0^{12}=108 \)
а вообще проще интегрировать по dy потом по dz, границы проще будут

[lu]

У нас в универе поток учили находить используя поверхностный интеграл первого рода.
А подынтегральное выражение - это скалярное произведение вектора силы и вектора нормали поверхности. Т.е.
\( \iint _ {S} \bar{F} \cdot \bar{n} \, dS = 3 \iint _ {S} (2z + y) dS \)
\( y = 12 - 3x - 4z \)
\( dS = \sqrt { \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 1 + \left(\frac{dy}{dz}\right)^2 } dzdx = \sqrt {26} \, dzdx \)
А дальше двойной интеграл по треугольнику (на плоскости Ozx)

\( \bar{F}=\{P;Q;R\} \)

\( \iint _ {S} (\bar{F} \cdot \bar{n}) \, dS = \iint _ {S} {(P\cdot \cos\alpha+Q\cdot\cos\beta+R\cdot\cos\gamma})\,dS=\iint _ {S} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \)