Как проще решить предел?

[renuar911]

Есть пределы, находить которые, мягко говоря, неприятно. Например:

\( \lim \limits_{x \to \infty} \left ( \frac{7x^2+5x+4}{7x^2+7x+2} \right )^{6x+1} \)

Результат получил exp(-12/7), но с большими потугами. Кто-нибудь знает более простой метод (без логарифмирования)?

[lu]

ну это неопределенность \( 1^{\infty} \)
второй замечательный предел, иначе никак вроде

[renuar911]

Да в том-то и дело, что решают путем логарифмирования и затем применяют эквивалентную замену типа ln(1+u) -> u при u ->0
Я пытался через 2-й зам., но не получилось.

[tig81]

Результат получил exp(-12/7), но с большими потугами. Кто-нибудь знает более простой метод (без логарифмирования)?

А как решали? Сводится ко второму замечательному пределу. Прибавьте в скобках и отнимите 1.

[lu]

\( \lim \limits_{x \to \infty} \left ( \frac{7x^2+5x+4}{7x^2+7x+2} \right )^{6x+1}=\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{-2x+2}{7x^2+7x+2} \right )^{6x+1}=\lim \limits_{x \to \infty} \left ( 1+\frac{-2x+2}{7x^2+7x+2} \right )^{\frac{7x^2+5x+2}{-2x+2}*\frac{-2x+2}{7x^2+7x+2}*{6x+1}}=e^{\lim \limits_{x \to \infty}{\frac{-12x^2+10x+2}{7x^2+7x+2}}}=e^{-\frac{12}{7}} \)
 

почему этот замечательный предел вам кажется сложным? вроде простой ж

[renuar911]

Нуууу! Это надо быть виртуозом! Все равно очевидны сложные и громоздкие преобразования. Я хотел бы видеть более компактную процедуру.
Тем не менее, за объяснение большое спасибо!

Я же рашал так:

[renuar911]

О-па! Пожалуй, я прорвал оборону затянутых преобразований! Судите сами:

\( \lim \limits_{x \to \pm \infty} \left ( \frac {a_2 x^2+a_1 x +a_0}{a_2 x^2+b_1 x+b_0} \right ) ^{c_1 x+c_0} = \exp \left [{\frac{c_1}{a_2}(a_1-b_1)}\right ] \)

Разве не изящно?  Находить числовое значение предела - одно удовольствие!
Мне вообще кажется - пора пришла составить таблицу пределов, как это сделано для интегралов, сумм и произведений. Систематизировать и перестать мучить студентов головоломными методами с обязательной припиской: ни-ни Лопиталя! Как вы на это смотрите?

[lu]

но это же логично, просто смысл метода надо понимать
смотришь предел и ты понимаешь что стоит  второй замечательный предел, если выделить единицу то получится неопределенность 1 в степени бесконечность. то есть мы получаем е в степени предел от отношений многочленов: а степени многочленов одинаковые, т.е. при х-> к беск. мы получаем е в степени число (отношение коэффициентов при старших степенях). а это очень легко вычислить

[renuar911]

Согласен, что логично.
Но вот что нелогично. Математика - вещь дедуктивная. Как в геометрии Евклида: от простого к сложному. Делаются доказательства и на них опираются при решении конкретной задачи. Пределы же остались неким островом, где всякий раз тянут доказательства чуть ли ни с аксиом. Поэтому иногда ответ получается в виде товарного поезда.
А ведь можно предварительно доказать общие закономерности, как это я показал в предыдущем посте, и тогда даже Лопиталь покажется сопроматом.
Ведь самое главное в практической математике - найти верный ответ. И чем быстрей, и проще - тем лучше.
Согласитесь - пост #6   раз в 5 проще, чем пост #4. Если иметь некий справочник подобных обобщений, то жить студенту станет лучше и веселей.

[renuar911]

Приведу еще один полезный обобщенный предел, полученный мною только что:

\( \lim \limits_{x \to 0} \frac{(1+a_1 x)^{c_1} - (1+a_2 x)^{c_2}}{(1+a_3 x)^{c_3}-(1+a_4 x)^{c_4}} = \frac {a_1 c_1 - a_2 c_2}{a_3 c_3 - a_4 c_4} \)

Ведь просто же, красиво и не надо каждый раз корячиться!

Или такая вот форма:

\( \lim _{x\rightarrow 0} \left[ 2- \left( {x}^{n}+1 \right) ^{a} \right] ^{{\frac {b}{{x}^{n}}}+c{x}^{\pm(n-1)}+d{x}^{\pm(n-2)}+...}={e^{-ab}}
 \)

Здесь n - положительное. Если n отрицательное , то тот же результат будет при x -> бесконечность.
Если же n=0, то предел равен

\( (2-2^a)^b \qquad \)  только при x -> бесконечность
Интересно - такой общий вид слабо доказать?