помогите найти предел, пожалуйста

[renuar911]

Известно, что:

\( \lim \limits_{x \to \infty}\left [\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}} arctg(x^n) \right ]^{ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...}= e^{-a/\pi} \)

К нему и сходится Ваш предел. Путем замены арккотангенса на арктангенс и путем изменения знака при x . Это позволяет от минус бесконечности перейти к плюс бесконечности. Конкретно Ваш предел приводится к

\( \lim \limits_{x \to \infty}\left [\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}} arctg(x) \right ]^{-x}= e^{1/\pi} \)

[GrikY]

спасибо Вам огромное! такого свойства я не знал... но дошел до Вашего ответа другим путем=))) скажите пожалуйста, так как я сделал, можно делать? =))

\( e^{lim_{n\to\infty}xln(1/pi*arcctg(x))}=e^{limx(1/pi*arcctgx-1)}=e^{limx(1/pi*(pi+arctg(1/x))-1)}=e^{limx*arctg(1/x)*1/pi}=e^{limx*1/x*1/pi}=e^{1/pi} \)

[renuar911]

\( e^{lim_{n\to\infty}xln(1/pi*arcctg(x))}= \)

\( =e^{limx(1/pi*arcctgx-1)}= \)  

\( =e^{limx(1/pi*(pi+arctg(1/x))-1)}= \)  

\( =e^{limx*arctg(1/x)*1/pi}= \)

\( =e^{limx*1/x*1/pi}=e^{1/pi} \)



Сделал покрупней, чтобы понять...
Простите, предел у Вас к +беск, или к -бесконечность?

[renuar911]

Странно вот что: Вы сделали эквивалентную замену, когда x стремится не к нулю. Так нельзя.

[GrikY]

я делал к минус бесконечности. Так ведь (1/x) получается стремится к 0... Я же не arctg(x) а arctg(1/x) меняю...

[renuar911]

Мне сложно за Вами следить - нужно всегда ставить пределы. Тогда и проверять легче.

чтобы грамотно предел выглядел, нужно писать так:

 \lim \limits_{x \to 0}........

\lim \limits_{x \to \infty}........

\lim \limits_{x \to  - \infty}........

[GrikY]

\( (9*x-x^3)^{1/3} \) нужна написать уравнения касательных к точке перегиба.

Точки перегиба получаются -3 0 и 3, вот только в этих точках в производной получается деление на 0! как же теперь стоить касательную, если угол ее наклона получается бесконечность? подскажите пожалуйста

[GrikY]

разобрался, спасибо! =)