Проверьте пожалуйста ДУ

[sir. Andrey]

Проверьте пожалуйста мое решение!!!

\( y''-2y'+3y=4\cos{x}-2\sin{x}+4e^{3x} \)

\( \lambda^2-2\lambda+3=0 \)
\( \lambda_{1,2}=1\pm\sqrt{2}i \)

\( y_{oo}=e^x(C_1\cos{\sqrt{2}x}+C_2\sin{\sqrt{2}x}) \)
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

\( y_{ch1}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
\( y'_{ch1}=-A\sin{x}+B\cos{x} \)
\( y''_{ch1}=-A\cos{x}-B\sin{x} \)

\( -A\cos{x}-B\sin{x}-2(-A\sin{x}+B\cos{x})+3(A\cos{x}+B\sin{x})=4\cos{x} \)
\( -A-2B+3A=4 \)
\( A=2+B \)
\( -B+2A+3B=0 \)
\( B=-1 \)
\( A=1 \)

\( y_{ch1}=\cos{x}-\sin{x} \)
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

\( y_{ch2}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
\( -A\cos{x}-B\sin{x}-2(-A\sin{x}+B\cos{x})+3(A\cos{x}+B\sin{x})=-2\sin{x} \)

\( -A-2B+3A=0 \)
\( B=A \)
\( -B+2A+3B=-2 \)
\( A=-\frac{1}{2} \)
\( B=-\frac{1}{2} \)

\( y_{ch2}=-\frac{1}{2}\cos{x}-\frac{1}{2}\sin{x} \)
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

\( y_{ch3}=e^{3x}(Ax+B) \)
\( y'_{ch3}=e^{3x}(3Ax+3B+A) \)
\( y''_{ch3}=e^{3x}(9Ax+9B+6A) \)

\( 9Ax+9B+6A-2(3Ax+3B+A)+3(Ax+B)=4 \)
\( 9A-6A+3A=0 \)
\( A=0 \)
\( 9B+6A-6B-2A+3B=4 \)
\( B=\frac{2}{3} \)

\( y_{ch3}=\frac{2}{3}e^{3x} \)
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////

\( y_{OH}=e^x(C_1\cos{\sqrt{2}x}+C_2\sin{\sqrt{2}x})+\cos{x}-\sin{x}-\frac{1}{2}\cos{x}-\frac{1}{2}\sin{x}+\frac{2}{3}e^{3x} \)

[Nikgamer]

\( y_{ch1}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
\( y'_{ch1}=-A\sin{x}+B\cos{x} \)
\( y''_{ch1}=-A\cos{x}-B\sin{x} \)
Это что такое? Вы методом вариаций решаете?

[Dlacier]

Андрей, ты как то странно частное решение находишь. Зачем такие сложности??
Ищи сразу частное решение в виде

\( y_{ch}=A\sin x+B \cos x+ D e^{3x} \)

[sir. Andrey]

\( y_{ch1}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
\( y'_{ch1}=-A\sin{x}+B\cos{x} \)
\( y''_{ch1}=-A\cos{x}-B\sin{x} \)
Это что такое? Вы методом вариаций решаете?

Кажется да!!!
Всего у нас будет три частных решения!
Для первого слагаемого правой части частное решение быдет в виде: \( y_{ch1}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
Для второго так же: \( y_{ch1}=A\cos{x}+B\sin{x} \)
А для третьего: \( y_{ch3}=Ae^{3x} \)
Ну а для третьего я в решении ошибся!
Вот переделал:
\( y'_{ch3}=3Ae^{3x} \)
\( y''_{ch3}=9Ae^{3x} \)
\( A=\frac{2}{3} \)
\( y_{ch3}=\frac{2}{3}e^{3x} \)
Это правильно?
Ну а общее неоднородное решение будет выглядеть точно так же!

Андрей, ты как то странно частное решение находишь. Зачем такие сложности??
Ищи сразу частное решение в виде

\( y_{ch}=A\sin x+B \cos x+ D e^{3x} \)

Нас так не учили!!!
Нас учили разбивать правую часть на слагаемые!

[Nikgamer]

Я просто не очень тогда понимаю вашего решения. Нас всегда учили решать методом вариаций слегка по-другому. Ну вот так, как в этой теме написано - http://www.webmath.ru/forum/index.php/topic,6428.msg44028.html#msg44028

[sir. Andrey]

Ладно, попытаюсь разобраться с другим методом решения!

[sir. Andrey]

Попытка не увенчалась успехом!!!
Посмотрите пожалуйста, может я опять накосячил?
Следуя из общего однородного решения составляем систему:

\( C'_1e^x\cos{\sqrt{2}x}+C'_2e^x\sin{\sqrt{2}x} \)

\( C'_1(e^x\cos{\sqrt{2}x}-\sqrt{2}e^x\sin{\sqrt{2}x})+C'_2(\sqrt{2}e^x\cos{\sqrt{2}x}+e^x\sin{\sqrt{2}x})=4\cos{x}-2\sin{x}+4e^{3x} \)

Выражаем из первого уравнения \( C'_1 \)
\( C'_1=-C'_2 tg{\sqrt{2}x} \)
Подставляя во второе уравнение и выразив \( C'_2 \) получится полный бред:

\( C'_2=\frac{(4\cos{x}-2\sin{x}+4e^{3x})\cos{\sqrt{2}x}}{\sqrt{2}e^x} \)

Т.е. найти \( C_2 \) просто не реально!!!
Как мне кажется, подходит только мой способ, только правильный ли он?

[Dlacier]

Я просто не очень тогда понимаю вашего решения. Нас всегда учили решать методом вариаций слегка по-другому.

Нет, это не метод вариации постоянной. Это предположение какое должно быть частное решение данного дифференциального уравнения. И такой подход (как в данном примере) порой легче, метода вариации постоянной.

[Dlacier]

Андрей, ты как то странно частное решение находишь. Зачем такие сложности??
Ищи сразу частное решение в виде

\( y_{ch}=A\sin x+B \cos x+ D e^{3x} \)

Нас так не учили!!!
Нас учили разбивать правую часть на слагаемые!

Разницы никакой, а писанины больше.)

Зачем методом вариации постоянной решать, если так проще??)

[sir. Andrey]

Это частное решение охватывает все три что ли?
Я не понимаю, как оно получается именно в таком виде?
Во всех учебниках правую часть разбивают на слагаемые!

[Dlacier]

Во всех?)) Честно, от тебя впервые такое слышу.
Да, охватывает все три. А вид следует прям из правой части уравнения, как еще объяснить, даже не знаю.

[Dlacier]

Просмотрела твое решение, и не пойму, по сути \( y_{ch1} \) и \( y_{ch2} \) должны совпадать..

[sir. Andrey]

Щас проверил, вроде ошибок нет!!!
А при нахождении какого частного решения?

[Dlacier]

А при нахождении какого частного решения?

вот

\( y_{ch1} \) и \( y_{ch2} \) должны совпадать

Попробуй все-таки сделать как я писала и посмотри есть ли разница.)
То что ты делаешь это бессмысленная тройная работа..

[sir. Andrey]

А при нахождении какого частного решения?

вот

\( y_{ch1} \) и \( y_{ch2} \) должны совпадать

Как же они будут совпадать??
Для первого мы ищем частное решение с правой частью: \( 4\cos{x} \), а для второго: \(  -2\sin{x} \)

Я щас перепроверил, все 99% правильно!