Частное решение ДУ

[sir. Andrey]

\( y''-y'+\frac{1}{2}y=e^x\sin{x} \)
\( \lambda^2- \lambda +\frac{1}{2}=0 \)
\( \lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}i \)
\( y_o_o=e^{\frac{x}{2}}(C_1\cos{\frac{x}{2}}+C_2sin{\frac{x}{2}}) \)
Подскажите пожалуйста, в каком виде надо искать частное решение?

[tig81]

Подскажите пожалуйста, в каком виде надо искать частное решение?

\( e^x(A\cos{x}+B\sin{x}) \)

[Dlacier]

Андрей, для этого нужно смотреть правую часть уравнения и от этого отталкиваться.)

[sir. Andrey]

Подскажите пожалуйста, в каком виде надо искать частное решение?

\( e^x(A\cos{x}+B\sin{x}) \)

Т.е. вы хотите сказать, что решение будет выгладеть одинаково как при синусе так и при косинусе?
Т.е. я имею в виду, что  для правой части вида \( e^x \cos{x} \) или \( e^x \sin{x}  \)
решение будет выглядеть \( e^x(A\cos{x}+B\sin{x}) \)?

[tig81]

да

[sir. Andrey]

Почему то с ответом не сходится... 
\( y_{ch}=e^x(A\cos{x}+B\sin{x}) \)
\( y'_{ch}=e^x(A\cos{x}+B\sin{x})+e^x(B\cos{x}-A\sin{x})=e^x((A+B)\cos{x}+(B-A)\sin{x}) \)
\( y''_{ch}=e^x((2B)\cos{x}+(-2A)\sin{x}) \)
\( A=-11 \)
\( B=-\frac{11}{6} \)
С ответом не сходится!!!
Ответ такой
\( y_o_o=e^{\frac{x}{2}}(C_1\cos{\frac{x}{2}}+C_2sin{\frac{x}{2}})-\frac{2}{5}e^x(\sin{x}+2\cos{x}) \)

[Dlacier]

Почему то с ответом не сходится... 
\( y_{ch}=e^x(A\cos{x}+B\sin{x}) \)
\( y'_{ch}=e^x(A\cos{x}+B\sin{x})+e^x(B\cos{x}-A\sin{x})=e^x((A+B)\cos{x}+(B-A)\sin{x}) \)
\( y''_{ch}=e^x((2B)\cos{x}+(-2A)\sin{x}) \)
\( A=-11 \)
\( B=-\frac{11}{6} \)

Распиши подробнее как находил \( A,\,B \)

[sir. Andrey]

Я перерешал, получилось по другому!
\( y'_{ch}=e^x((A+B)\cos{x}+(B-A)\sin{x}) \)
\( y''_{ch}=e^x(2B\cos{x}-2A\sin{x}) \)
\( 2B\cos{x}-2A\sin{x}-(A+B)\cos{x}-(B-A)\sin{x}+A\cos{x}+B\sin{x}=\sin{x} \)
при косинусах
\( 2B-A-B+A=0 \)
\( B=0 \)
при синусах
\( -2A-B+A+B-1=0 \)
\( A=-1 \)

[Dlacier]

Я перерешал, получилось по другому!
\( y'_{ch}=e^x((A+B)\cos{x}+(B-A)\sin{x}) \)
\( y''_{ch}=e^x(2B\cos{x}-2A\sin{x}) \)
\( 2B\cos{x}-2A\sin{x}-(A+B)\cos{x}-(B-A)\sin{x}+A\cos{x}+B\sin{x}=\sin{x} \)

а куда коэффициент \( \frac{1}{2} \) при \( y(x) \) делся?

[sir. Andrey]

Ухууууууууу!!!! 
Точно!!! Все сходится, спасибо тебе мега такое блин огромное!!! 

[Dlacier]

На здоровье )))