Упростить и вычислить выражение

[Человек]

не могу понять

[Dlacier]

Что делали? Что не получается?

[Человек]

ну я так поняла, что здесь нужно подкоренные выражения представить в виде квадратов суммы. не получилось. прошу вас помочь мне с целью понять сам принцип решения. если можете, скажите, с чего тут хотя бы начать можно.

[renuar911]

Могу дать подсказку - и в числителе, и в знаменателе жуткие радикалы равны всего-навсего 1

В самом деле, если ввести первый радикал в корень из 6, то в нем

\( \left( 2+\sqrt {5} \right) ^{3} \left( -38+17\,\sqrt {5} \right) = 1 \)

Выражение резко упрощается.

[Человек]

спасибо огромное, очень помогли.
пока решаю, если еще будут вопросы, напишу.

[Человек]

после того, как пришли к такому виду и подставили значение икс, ничего хорошего не получается:(
что здесь можно упростить?

[Человек]

что с этим делать?

[Человек]

пожалуйста помогите мне:(

[Человек]

всё под корень загонять или что?

[renuar911]

А может это и есть упрощение? Вы ответ знаете? В исходном вашем листочке знак двоеточия - это деление?

[Человек]

нет, не знаю. Дело в том, что в задании написано "Упростить и вычислить". И зачем-то же дано значение икс:(

да, деление.

[Человек]

я загнала всё под корень, после преобразований получился ответ "1". пожалуйста, сообщите если доведёте до конца.

[renuar911]

Вроде я нащупал хитрость. Давай вместе думать: Итак нужно упростить

\( \frac{(1-mx) \sqrt{1+nx}}{(1+mx) \sqrt{1-nx}} \qquad  \qquad \)   (1)

где x дается формулой и ограничениями. Эти ограничения даны для того, чтобы под корнем было положительное значение, то есть для исключения комплексных чисел. Можно преобразовать:

\( (mx)^2=\frac{2m}{n}-1 \qquad  \qquad \). (2)

Нам понадобится еще такое соотношение:

\( 1+(mx)^2=\frac{2m}{n} \qquad  \qquad \). (3)

Теперь умножим числитель и знаменатель выражения (1) на (1-mx). В итоге получим:

\(  \frac{(1-mx)^2 \sqrt{1+nx}}{[1-(mx)^2] \sqrt{1-nx}} \qquad  \qquad \)   (4)

Раскроем скобки числителя

\(  \frac{[1-2 mx + (mx)^2] \sqrt{1+nx}}{[1-(mx)^2] \sqrt{1-nx}} \qquad  \qquad \)   (5)

Используем зависимости (2) и (3):

\(  \frac{[\frac{2m}{n}-2 mx ] \sqrt{1+nx}}{[1-\frac{2m}{n}+1] \sqrt{1-nx}} \qquad  \qquad \)   (6)

Упрощаем, получим:

\( \frac{m(1-nx) \sqrt{1+nx}}{(n-m) \sqrt{1-nx}} \qquad  \qquad \)   (7)

Можем сократить на корень

\( \frac{m\sqrt{1-nx} \sqrt{1+nx}}{(n-m)} \qquad  \qquad \)  

Перемножаем корни

\( \frac{m\sqrt{1-(nx)^2} }{(n-m)} \qquad  \qquad \)  

Если сильно не напортачил, то так. Возможно где-то маханул и корень должен пропасть. Проверю- ка на досуге численно...
Мне не нравится то , что x не исчез. Обычно в таких примерах остаются только m и n.
Надо тебе свежим взглядом просмотреть.

О!!! Класс!!! Если вместо x подставить заданное исходное выражение, то получим (долго выводил):

\( \sqrt{(m-n)^2}}{n-m}=-1 \)

Вот теперь дело! Побегу проверять численно...

Проверил, задав m=2 и n=3

Получил +1

Надо искать огреху

[renuar911]

У меня время правки истекло, последнюю формулу не так записал, счас поправлю

\( \frac{\sqrt{(m-n)^2}}{n-m}=\frac{\sqrt{(n-m)^2}}{n-m}=1 \)

Теперь все верно, так как надо переставить параметры, поскольку n>m

Задача поностью решена и проверена.

[Человек]

ох спасибо Вами огромное)
то есть, как я поняла, ответ "1"?