Помогите с пределами

[kissahell]

Пожалуйста, оч.нужна помощь..... второй день не могу осилить, совсем не помню ничего =(

a)  lim    (sqrt(x+10)-sqrt(4-x))/(2x^2-x-21)
   x->-3

дорешала до 1/2sqrt(7) lim (2x+6)/(2x^2-x-21)   дальше ненаю =(
                                x->-3


b) lim (cos(x)-cos(x)^5)/x^2
   x->0


c) lim (x-4) (ln(2-3x)-ln(5-3x))
   x->-00

[renuar911]

a) Очень поможет Лопиталь:

\( \lim \limits_{x \to -3} \frac{ \frac {1}{2\sqrt{x+10}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}}{4x-1}=-\frac{1}{13 \sqrt{7}} \)

b) Тут эквивалентная замена:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x)[1-cos^4(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x) [1-cos^2(x)][1+cos^2(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x)sin^2(x)[1+cos^2(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x) x^2 [1+cos^2(x)]}{x^2}=2 \)

[kissahell]

a) Очень поможет Лопиталь:

\( \lim \limits_{x \to -3} \frac{ \frac {1}{2\sqrt{x+10}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}}{4x-1}=-\frac{1}{13 \sqrt{7}} \)

b) Тут эквивалентная замена:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x)[1-cos^4(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x) [1-cos^2(x)][1+cos^2(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x)sin^2(x)[1+cos^2(x)]}{x^2}=\lim \limits_{x \to 0}\frac{cos(x) x^2 [1+cos^2(x)]}{x^2}=2 \)

Все примеры решить надо не пользуясь Лопиталем =(
b) я в принципе так и решала, только не могу понять куда делся синус? когда мы заменили его косинусом, то у нас получился sin(x)^2, а потом в Вашем решении остается просто x^2....

[renuar911]

Я же сказал, что эквивалентная замена, т.е.

\( sin^2(x) \sim x^2  \)

Это сокращается со знаменателем и остаются только косинусы , дающие в пределе двойку.

В первом пределе наверное сделать замену x=t-3. В этом случае

\( t \to 0 \)

и радикалы станут интересней.

[kissahell]

хи... дошло =) пасибки..
а с пределом с логарифмом не подскажешь?

[renuar911]

Третий предел основан на одном частном случае второго замечательного предела:

\( \lim \limits_{x \to \pm \infty} \left ( \frac{a+bx}{c+bx} \right ) ^{x+d} = e^{\frac{a-c}{b} \)

То есть результат не зависит от константы d. (Рекомендую это записать себе отдельно,
ибо часто такой вид встречается в задачах).

Запомним это наблюдение и приступим к нашему пределу, который легко сводится
к следующему (свойства логарифмов):

\( \lim \limits_{x \to -\infty}ln \left ( \frac{2-3x}{5-3x} \right )^{x-4} \)

С учетом замеченного нами случая, этот предел будет равен:

\( ln (e^{1}) = 1 \)

[renuar911]

Формула

\( \lim \limits_{x \to \pm \infty} \left ( \frac{a+bx}{c+bx} \right ) ^{x+d} = e^{\frac{a-c}{b} \)

доказывается легко. Сделаем замену

\( x=\frac{t-c}{b} \)

Тогда

\( \lim \limits_{t \to \pm \infty} \left ( \frac{a-c}{t}+1 \right ) ^{\frac {t}{b}-\frac{c}{b}} = e^{\frac{a-c}{b} \)

[renuar911]

Р.S. Параметр d забыл включить, но он все равно не влияет на результат

[kissahell]

 спасибо огромное!!!!!!