Дифференциальное уравнение

[sir. Andrey]

Дамы и господа!!!
Помогите пожалуйста решить дифур 
Хотя бы натолкните на правильный путь!!!
\( 2yy'^2+x^2(y'^2+1)+2xy'=0 \)

[lu]

ну если внимательно посмотреть, то у вас тут многочлен второй степени относительно y'.
решаем квадратное уравнение, а потом уже решаем два дифф уравнения
по моему так решали такие уравнения)

[sir. Andrey]

Я нашел решение относительно y', а что делать с этим уравнением не знаю!!!
\( y'_{1,2}=\frac{-2x \pm 2x\sqrt{1-2y-x^2}}{2(2y+x^2)} \)
Подскажите пожалуйста!!!

[sir. Andrey]

Прошу вас помогите, очень срочно надо!!! 

[sir. Andrey]

Help me please!!!!           

[Dlacier]

Я нашел решение относительно y', а что делать с этим уравнением не знаю!!!
\( y'_{1,2}=\frac{-2x \pm 2x\sqrt{1-2y-x^2}}{2(2y+x^2)} \)

Можно попробывать так
\( y'_{1,2}=-x\frac{1 \pm \sqrt{1-2y-x^2}}{1-(1-(2y+x^2))} \)

\( y'_{1,2}=-x\frac{1 \pm \sqrt{1-2y-x^2}}{(1-\sqrt{1-2y-x^2})(1+\sqrt{1-2y-x^2})} \)

\( y'_{1,2}=-x\frac{1}{1\pm\sqrt{1-2y-x^2}} \)

Замена
\( \sqrt{1-2y-x^2}=z \)
\( y=\frac{1}{2}(1-z^2-x^2) \)
\( y^\prime=-(zz^\prime+x) \)
Подставляем
\( -(zz^\prime+x)=-x\frac{1}{1\pm z} \)

Получается уравнение с разделяющимися переменными, из которого можно найти \( z \), а потом и \( y \).

[renuar911]

Делал иным способом и получил 2 решения:

\( y=\frac{1-x^2}{2} \)

\( y=\sqrt{C^2-x^2}-\frac{C^2}{2} \)

[Dlacier]

Делал иным способом

Интересно.)
Напишите ход решения.

[renuar911]

Будем искать решение в виде

\( y=A+Bx^2 \)

Производная

\( y'=2Bx \)

Подставляя в исходное уравнение, получим:

\( 8\,{B}^{2}{x}^{2}A+8\,{B}^{3}{x}^{4}+4\,{x}^{4}{B}^{2}+{x}^{2}+4\,B{x}=0 \)

Откуда

\( A=- \frac{1}{8B^2} [4B^2 x^2 (2B+1) +4B +1 ] \)

Чтобы исключить зависимость от x^2 параметр B должен быть равен

\( B= - \frac {1}{2} \)

Тогда

\( A = \frac{1}{2} \)

Второе решение еще проще:

Принимаем

\( y=\sqrt{A-x^2}+B \)

Делая аналогично первому решению, получим:

\( \frac{x^2(2B+A)}{x^2-A}=0 \)

Откуда

\( B= -\frac{A}{2} \)

Вот и все.

[Dlacier]

Тут самое главное это предположение

Будем искать решение в виде

\( y=A+Bx^2 \)

Вопрос, из каких соображений вы ищете решение именно в этом виде, в виде именно такого многочлена (и почему именно многочлена)?)

Мне просто очень интерсено.))

А второе решение как находили??

[renuar911]

Структуры формул чувствую исходя из опыта. Конечно, я рассмотрел не менее 5 вариантов "болванок". В их числе и экспоненты.

[Dlacier]

Это как пальцем в небо.))
Или если мягче, интуиция рулит;)

А второе решение? Вы так и не поделились самим "ходом".)

[renuar911]

Ходы мои очень простые  до примитивности. Я давно уже составил прогу для решения именно студенческих примеров. Набор функций относительно небольшой - около 150 форм. Прогоняю их скопом и прекрасно вижу - где клюет, а где лучше не барахтаться. Когда уж совсем ничего не выходит, решаю обычными классическими приемами, пополняя свою библиотеку "болванок". Сейчас как раз занимаюсь написанием солидной (по толщине) книги, куда хочу включить все свои ноу-хау. Их довольно много уже накопилось. Именно с этой целью  решил в этом форуме повариться - здесь все очень динамично, интересно и большой архив задач.

[Dlacier]

Ходы мои очень простые  до примитивности. Я давно уже составил прогу для решения именно студенческих примеров. Набор функций относительно небольшой - около 150 форм. Прогоняю их скопом и прекрасно вижу - где клюет, а где лучше не барахтаться.

Не могли вы пояснить, что значит "прогоняю их скопом".
И что за программа такая?) В чем пишите?
Ведь в принципе все эти примеры можно решить, например, в той же Mathematice. Дает она только конечный ответ, что и понятно, а у вас в программе и ход решения прописывается?

Когда уж совсем ничего не выходит, решаю обычными классическими приемами, пополняя свою библиотеку "болванок".

Я конечно повторяюсь, но конкретно этот пример как вы сделали, так и не ответили.(

Сейчас как раз занимаюсь написанием солидной (по толщине) книги, куда хочу включить все свои ноу-хау. Их довольно много уже накопилось. Именно с этой целью  решил в этом форуме повариться - здесь все очень динамично, интересно и большой архив задач.

А для чего все это?
С какой целью все это проделывается? Чтобы просто было или... ??

Действительно интересно.)

[renuar911]

Прога в Мапл, очень простая. Вводится только ДУ и максимальный порядок производной , причем вместо производных записываю y1, y2 ...  Это намного ускоряет ввод уравнения. Далее все автоматически: по циклу рассматривается первая болванка, вычисляются производные, подставляются в уравнение, упрощается выражение, принтуется. Сразу видно - где шерсть стОит выделки, а где нет. Такую прогу может любой составить. Вся хитрость - в банке болванок. Чтобы его создать пришлось не одну тысячу задач решить и в форумах решения подсмотреть.
Иными словами - это не совсем пальцем в небо. По крайней мере, я в этом форуме не раз это доказал.