Дифференциальное уравнение второго порядка

[glora]

Спасибо. Понятно, надо отдохнуть. Зарешалася я))))))))

[glora]

Dlacier, вы меня запутали совсем.
Не надо находить сумму частного и однородного уравнения. (см. метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа)
Мы нашли \( p=Cy \)

Затем находим \( C(y) \) и подставляем в верхнее выражение

Т.е. \( C(y)=\frac{ln^2y}{2}+C1 \) примем С1=0

\( p=\frac{yln^2y}{2} \)

[renuar911]

\( y(x)=e^{\frac {\sqrt{2}}{C_1}tg \left ( \frac{x+C_2}{\sqrt{2}C_1}\right )} \)

[Dlacier]

Dlacier, вы меня запутали совсем.
Не надо находить сумму частного и однородного уравнения. (см. метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа)
Мы нашли \( p=Cy \)

Затем находим \( C(y) \) и подставляем в верхнее выражение

ну да, занесло немного)) занулять ничего не нужно, теперь решайте дальше.

\( p=C_1y + \frac{1}{2}y\ln^2 y \)

(получили то же, что и в ответе #14.)

[glora]

Не могу найти  интеграл

\( dx=\frac{2}{yln^2(y)+2C1y} \)

Может приравнять всетаки С1 к нулю?

[Dlacier]

1

это что??)))

[glora]

Не могу найти  интеграл

\( dx=\frac{2}{yln^2(y)+2C1y}dy \)

Может приравнять всетаки С1 к нулю?

[Dlacier]

Может приравнять всетаки С1 к нулю?

Нет. Тогда это не будет общим решением.

Не могу найти  интеграл

\( dx=\frac{2}{yln^2(y)+2C1y}dy \)

\( 2\int\frac{1}{y(\ln^2(y)+C^2)}dy=2\int\frac{1}{(\ln^2(y)+C^2)}d\ln y=\frac{2}{C}\int\frac{1}{\frac{\ln^2(y)}{C^2}+1}d\left(\frac{\ln y}{C}\right) \)

ну а это известный интеграл

[glora]

кстати в интеграле числитель тож наверное надо на \( C1^2 \) разделить

\( x=\frac{2}{C1^3}arctg\frac{lny}{C1}+C2 \)

А обязательно  у выражать через х или можно так оставить
У  renuar911 интересный ответ получился

[Dlacier]

кстати в интеграле числитель тож наверное надо на \( C1^2 \) разделить

А вы расписывали??
Еще раз, не смотря на свою лень, специально для вас

Пусть \( C^2=2C_1 \) это делать не обязательно, так для красоты.)

\( 2\int\frac{dy}{y(\ln^2(y)+C^2)}=2\int\frac{d\ln y}{(\ln^2(y)+C^2)}=2\int\frac{C d\left(\frac{\ln y}{C}\right)}{C^2\left(\frac{\ln^2(y)}{C^2}+1\right)}=\frac{2}{C} \arctan \left(\frac{\ln y}{C}\right)-C_2 \)

А обязательно  у выражать через х или можно так оставить

Не обязательно, но у вас вполне реально это сделать

У  renuar911 интересный ответ получился

\( \frac{2}{C} \arctan \left(\frac{\ln y}{C}\right)=x+C_2 \)
\( \arctan \left(\frac{\ln y}{C}\right)=\frac{C(x+C_2)}{2} \)
\( \frac{\ln y}{C}=\tan \left(\frac{C(x+C_2)}{2}\right) \)
\( y=e^{C\tan \left(\dfrac{C(x+C_2)}{2}\right)} \)

То же самое.

Все очень просто.)

[glora]

Спасибо всем за помощь