Дифференциальное уравнение второго порядка

[glora]

\( yy^\prime^\prime-(y^\prime)^2=yy^\prime\ln y \)
Найти общее решение.
Мое решение:

Поскольку уравнение не содержит \( x \) поэтому делаем замену:
\( y^\prime=p, \,\, y^\prime^\prime=p \frac{dp}{dy} \).
Тогда
 \( \frac{y\,p\,dp}{dy}-p^2=y\,p\ln y \)
Отсюда \( p=0,\,\,\frac{y\,dp}{dy}-p=y\,\lny \)
Решение первого уравнения \( \frac{dy}{dx}=0,\,\,y=C \)
При отыскании решения второго уравнения разделим переменные и проинтегрируем:

И вот тут стопор (не могу разделить переменные):
\( \frac{dp}{p}=\left(\frac{\ln y}{p}+\frac{1}{y}\right)dy \)
Помогите!

[Dlacier]

glora, не нужно использовать красный цвет.
Пишите в TeXе грамотно.
На будущее:
  дробь -  \frac{числитель}{знаменатель},
  перед функциями ставьте "\",
  y^\prime - обозначает \( y^\prime \)

Исправлено.

[Dlacier]

Второе уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.
Сначала найдите решение однородного уравнения (там переменные разделятся), потом частное решение неоднородного, а их сумма и будет решением исходного ДУ.

\( p^\prime-\frac{p}{y}=\ln y \)

[renuar911]

Один из ответов виден невооруженным глазом y = C

Второе решение - экспонента от сложной функции тангенса.

[glora]

один из ответов y=c у меня есть, renuar911

[glora]

Решение однородного уравнения:
\( y \)₁=\( C \)₁\( p \)
Подскажите, как найти частное решение

[Dlacier]

Почему выражаете \( y \), если в данном случае искомой является \( p(y) \)?
Исправьте, а далее методом вариации постоянной можно.

[glora]

Проверьте решение, пожалуйста

\( p^\prime-\frac{p}{y}=lny \)
Воспользуемся методом Лагранжа. Найдем сначала решение однородного уравнения \( p^\prime-\frac{p}{y}=0 \)
\( p=Cy \)
Пусть постоянная интегрирования зависит от у, т.е. \( p=yC(y) \),  тогда \( p^\prime=yC^\prime(y)+C(y) \)
Подставим \( p^\prime \) и \( p \) в исходное уравнение
\( yC^\prime+C-C=lny \)
\( dC=\frac{lny}{y}dy \)

\( C=\frac{ln^2(C1*y)}{2} \).

\( p=\frac{yln^2(C1*y)}{2} \)

Т.к. \( p=\frac{dy}{dx} \), то
\( dx=\frac{2}{yln^2(C1*y)}dy \)

Итак, \( x=-\frac{2}{C1ln(yC1)}+C2 \)

[Dlacier]

Объясните как интегрировали.

\( dC=\frac{lny}{y}dy \)

\( C=\frac{ln^2(C1*y)}{2} \).

[glora]

\( dC=lnyd(lny) \)

\( C=\frac{ln^2(y)}{2}+C1 \)   
 
постоянную интегрирования представим в виде

\( C=\frac{ln^2(y)}{2}+\frac{ln^2(C1)}{2} \)

Честно, не могу понять, что делать. Может отнять постоянную интегрирования? И по формуле разности квадратов получим

\( C=\frac{1}{2}(ln(\frac{y}{C1})*ln(C1*y)) \)

Или все проще  \( C=\frac{ln^2(C1^2y)}{2} \)

Подскажите, плиззззз

[Dlacier]

\( dC=lnyd(lny) \)

\( C=\frac{ln^2(y)}{2}+C1 \)    
  

Вы находите некоторое частное решение, поэтому можно смело взять \( C_1=0 \).

[glora]

В результате получится одна постоянная интегрирования? А должно быть две. или учитывается второе решение?

[Dlacier]

Так вы же нашли частное решение для \( p \), теперь запишите общее решение и зная, что \( p=y^\prime \), найдите \( y \).
Тогда и появится еще одна константа интегрирования.

[glora]

\( C=\frac{ln^2(y)}{2}+C1 \)

пусть \( C1=0 \)

\( p=\frac{yln^2(y)}{2} \)

\( dx=\frac{2}{ln^2(y)}dy \)

\( x=-\frac{2}{lny}+C2 \)

Постоянная интегрирования одна - С2. Либо учитывается постоянная интегрирования во втором решении \( y=C \)
 Или наличие в решении дифференциального уравнения второго порядка двух постоянных интегрирования необязательно?

[Dlacier]

p=решение однородного уравнения+частное решение неоднородного

То есть

\( p=Cy + \frac{1}{2}y\ln^2 y \)