Система диф уравнений методом исключения

[glora]

Помогите решить систему методом исключения.
{dx/dt=-x/t
{dy/dt=(t^2+x^2)/ty

Какое здесь уравнение дифференцировать? И что здесь исключать: dy/dt и у или dx/dt и x. Вообще возникли проблемы при дифференцировании.
Продифференцировала так:

{d^2x/dt^2=-(dx/dt*(1/t)-x/t^2) и второе {d^2y/dt^2=1/y-(t/y^2)*dy/dt+x^2(-1/(y*t^2)-(1/(t*y^2))dy/dt)
Метод то знаю, но это задание уж слишком(((((((((

[renuar911]

Возможно, так нужно. Из первого уравнения - разделяем переменные и получаем

\( \frac{dx}{x}=-\frac{dt}{t} \)

Интегрируем, получим в итоге

\( x=\frac {1}{t} \)

Подставляем во второе уравнение:

\( \frac{dy}{dt}=\frac{t^2+1/t^2}{ty} \)

Опять разделяем переменные, интегрируем, получим:

\( \frac {y^2}{2}=\frac{t^3}{3}-\frac{1}{t} \)

откуда

\( y= \pm \sqrt{\frac{2}{3}t^3-\frac{2}{t}} = \pm\sqrt{\frac{2}{3x^3}-2x} \)

Проверьте меня - писал и думал слишком быстро.

[Dlacier]

Метод то знаю, но это задание уж слишком(((((((((

Напишите в чем заключается метод.

renuar911, сразу бросилось в глаза отсутствие констант интегрирования.

[renuar911]

Да, с константами у меня всегда проблемы. Забываю я о них. Но пусть тогда автор восполнит пробел...

[glora]

Вообще для решения методом исключения (если не права, поправьте) необходимо продифференцировать одно уравнение и с помощью другого исключить неизвестную функцию. Что меня и привело  в тупик. А Вы интегрируете. Но вроде как правильно.
Итак, dx/x=-dt/t , x=1/t+C1

Подставляем во второе уравнение:
dy/dt=(t^2+(1/t+C1)^2)/t*y

Разделим  переменные
ydy=(t+1/t^3+(2C1)/t^2+C1^2/t^2)dt

Интегрируем
y^2/2=t^2/2-1/(2*t^2)-(2*C1+C1^2)/t)+C2

y^2=t^2-1/t^2-2(2C1+C1^2)/t+2C2

откуда y=+-sqrt(t^2-1/t^2-2(2C1+C1^2)/t+2C2)=+-sqrt(1/(x-C1)^2-(x-C1)^2-2(x-C1)(2*C1+C1^2)+C2)

Наверное так? Кому не лень, гляньте плиз. Спасибо большое за решение

[renuar911]

Я параллельно делал и несколько по-иному. Интересно сопоставить...

Да, с константами у меня всегда проблемы. Забываю я о них. Но пусть тогда автор восполнит пробел...
Но все-таки попроую. Интересно же!
Итак:

\( x=\frac{1}{t}+C_1 \)

откуда

\( t=\frac{1}{x-C_1} \)

Интегрируем вторую строку:

\( \frac{y^2}{2}=\int \! \left(  \frac{1}{( x-{\it C_1} \right) ^{2}}+{x}^{2} \right)  \left( x-{\it C_1} \right) {dx}=\frac{1}{4}\,{x}^{4}-\frac{1}{3}\,{x}^{3}{\it C_1}+\ln  \left( x-{\it C_1} \right) + C_2
 \)

Тогда

\(  y=\pm \sqrt {\frac{x^4}{2}-\frac{2}{3}x^2 C_1 + 2 ln (x-C_1)+2C_2} \)

Ответов много и все разные  

Как бы проверить, верно ли получены результтаты?

[glora]

а почему выражаете \( t \) через \( x \). У нас же второе уравнение  \( dy/dt \)

[glora]

Да и ошибка в интеграле.


y^2/2=интеграл(1/(x-C1)+x^2*(x-C1))dx

[renuar911]

Да, я неправ. Не надо было выражать через х.

Попытаюсь сделать через t

\( y= \pm \sqrt {-{t}^{2}+2\,{{\it C_1}}^{2}\ln  \left( t \right) -4\,{\frac {{\it C_1}}{t}}+2\,{\it C_2}}
 \)

Устал уж от ответов. Но как проверить?

[glora]

ay-y-y-y..... так скажите, пожалуйста, данная система решена методом исключения? Вроде как исключали, но интегрировали, а не дифференцировали.....

[Dlacier]

\( \left\{\begin{matrix}
 \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{x}{t}  \\
 \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{x^2+t^2}{ty} 
\end{matrix}\right. \)

\( 1.\,\,\,\dfrac{dx}{x}=-\dfrac{dt}{t} \)
\( \ln x=\ln\dfrac{1}{t}+\ln C_1 \)
\(  x=\dfrac{C_1}{t} \)

\( 2.\,\,\, \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\left(\dfrac{C_1}{t}\right)^2+t^2}{ty}  \)
\( ydy=\left(\dfrac{C_1^2}{t^3}+t\right)dt  \)
\( y^2=-\dfrac{C_1^2}{t^2}+t^2+C_2 \)

Корень извлекать думаю не обязательно.

[glora]

Dlacier, спасибо огромное.