Диф уравнение!!! Помогите дорешать!!!

[sir. Andrey]

\( \frac{4}{9}y'^3-3x^4y'+6x^3y=0 \)
\( p=y'  \)
\( dy=pdx \)
\( \frac{4}{9}p^3-3x^4p+6x^3y=0 \)
\( 6x^3y=3x^4p-\frac{4}{9}p^3 \)
\( y=\frac{1}{2}xp-\frac{2}{27}\frac{p^3}{x^3} \)
\( pdx=\frac{1}{2}xp-\frac{2}{27}\frac{p^3}{x^3} \)
Посмотрите пожалуйста, правильно ли я нашел dx, и что делать дальше?
\( dx=\frac{x^2}{4}dx- \frac{2}{27}(\frac{2px^3dp-3x^2p^2dx}{x^6}) \)

[renuar911]

Решая, как кубическое уравнение, получил три корня

\( y \left( x \right) =\frac{1}{2}\,{x}^{3} \)

\( y \left( x \right) =-\frac{1}{2}\,{x}^{3} \)

\( y \left( x \right) =-{\frac {2}{27 C_1^3}}+{\frac {{
x}^{2}}{{2 C_1}}}
 \)

Это поможет?
Подставил в исходное дифф. ур-ие - все ок!

[sir. Andrey]

Нет, это явно не то!!! 

[Nikgamer]

Нет, это явно не то!!! 

А как тут еще решать-то? Вашу замену делать нельзя.

[sir. Andrey]

Ну и что с этими корнями делать? 

[renuar911]

Эти все три корня являются решениями Вашего дифф. уравнения. Можете их бросить хоть на свалку.

Например:

 \( y=\frac{1}{2} x^3 ; \qquad y' = \frac{3}{2}x^2 \)

\( \frac{4}{9} \cdot \frac {27}{8}x^6- 3x^4 \cdot \frac{3}{2}x^2+6x^3 \cdot \frac {1}{2}x^3=0 \)

Удивлюсь, если кто-то скажет, что неверно.

[sir. Andrey]

А можете по подробнее расписать что и как вы делали? 

[renuar911]

Подробно не буду - скажу только, что на первом этапе искал решение в виде

\( y = A x^B \)

[sir. Andrey]

Подробно не буду - скажу только, что на первом этапе искал решение в виде

\( y = A x^B \)

Мне это вообще ни чего не дало... 

[sir. Andrey]

Помогите пожалуйста!!!! 
Сил моих больше нет... 

[renuar911]

Вам это ничего не дало, потому что, наверное, Вы не занимались уравнениями физики. Поясню, как решал я:
Производную представил в таком виде:

\( { y'=\frac {A B {x}^{B}}{x} \)

После подстановки в основное уравнение

\( \frac{4}{9}\,{\frac {{A}^{3}{B}^{3} \left( {x}^{B} \right) ^{3}}{{x}^{3}}}-3\,{x}^{3}AB{x}^{B}+6\,{x}^{3}A{x}^{B}=0
 \)

Это уравнение сбалансировано по степеням при x. Исследуя дробную часть и недробные члены, видим, что 3B-3=3+B

Отсюда B=3

Если подставить это значение в уравнение выше, то

\( 12\,{A}^{3}{x}^{6}-3\,{x}^{6}A=0 \)

Откуда

\( A= \pm \frac{1}{2} \)

[sir. Andrey]

OK спасибо!!! Попытаюсь разобраться.
Но это уже завтра!!!

[sir. Andrey]

На счет первых двух решений разобрался, а вот последнее я не понял как вы получили...
Обьясните пожалуйста        Или хотя бы натолкните на путь истинный..

[renuar911]

Третий вариант получился у меня так: предполагаю, что

\( y'=\frac {x}{C_1} \)

Тогда

\( y=\int \frac{x}{C_1} dx = \frac{x^2}{2C_1}+C_2 \)

Подставляем в основное уравнение:

\( \frac{9x^3}{4C_1^3}-\frac{3x^5}{C_1}+6x^3 \left ( \frac{x^2}{2C_1}+C_2 \right )=0 \)

Отсюда находим C2:

\( C_2=-\frac{3}{8C_1^3} \)

Ответ получаем несколько иной, чем писал выше, но тоже верный:

\( y=-\frac{3}{8C_1^3}+\frac{x^2}{2C_1} \)

Я подставил это значение в основное уравнение и получил 0. Значит, все верно.

[renuar911]

Третий вариант мне удалось найти еще проще. Предполагаю, что

\( y'=x \)

Тогда

\( y=\int x dx = \frac{x^2}{2}+C \)

Подставляем в основное уравнение:

\( \frac{9x^3}{4}-3x^5+6x^3 \left ( \frac{x^2}{2}+C \right )=0 \)

Отсюда находим C:

\( C=-\frac{3}{8} \)

Ответ совсем уж простой:

\( y=\frac{x^2}{2} -\frac{3}{8} \)

Подставил это значение в основное уравнение и получил 0.