задача с N-переменными

[OilliIST]

 :'(помогите пожалуйста....я нигде не могу найти.....задачу надо решить графически
Z(x)=x1-19x2-5x3-7x4->min
{5x1-4x2+x3-x4=-1
{-6x1+7x2-x3+2x4=10
xj>=0
j=1,2,3,4
 

[renuar911]

Если решить систему относительно x3 и x4, то получим
x3=-4x1+x2+8
x4=x1-3x2+9
Подставим и получим z=14x1-3x2-103 ->min

Это поможет? Я, честно, не знаю как решить графически. Думаю, нужно найти ограничения на x2, так как коэффициент при ней отрицательный.

Возможно, что так: из условия положительности всех переменных, составим неравнества

x2>=4x1-8  и  x2<=x1/3-3
Подставим в z  и получим 2 линии: z>=2x1-79  и  z<=13x1-94 и при этом z должна быть минимальной. Чертим график



Решение задачи находится на пересечении прямых

Получим x1=15/11  z(min) = - 839/11 = - 76.27

[renuar911]

Я, к сожалению, ошибся в записи исходного уравнения в системе. Да и подход оказался неверным, так как не учитывал знаки отдельных параметров.
Поэтому делаю заново и более основательно.

\( z=x_1-19x_2-5x_3-7x_4 \to min \)

\( x_1\ge 0 ; \, x_2 \ge 0 ; \,x_3\ge 0 ; \, x_4 \ge 0  \)

Анализируем сперва это. Мы видим, что x1 - единственный параметр с положительным коэффициентом. Поэтому
 
\( x_1=0 \)

Итак,  \( z=-19x_2-5x_3-7x_4 \to min \) ............(1)

Система

\( -4x_2+x_3-x_4=-1 \)
\(  7x_2-x_3+2x_4=10 \)

Сложим строки этих уравнений и, исключая x3, найдем:

\( x_4=9 - 3x_2 \).............(2)

Поскольку x2 и x4 положительные, то отсюда следует:

\( 0 \le x_2 \le 3 \)

Вторым решением системы будет:

\( x_3=x_2+8 \) ...............(3)

Подставим (2)  и  (3)  в целевую функцию (1)

\( Z = - 3 x_2 - 103 \)

Минимальное значение Z будет при максимально возможном x2, то есть при x2=3.

Тогда  Z min = - 112

Последние результаты можно найти графически:



Этот результат верный - проверил численно на компьютере.

[renuar911]

В итоге решение задачи

\( z_{min} = x_1-19x_2-5x_3-x_4 = -112 \)

будет при:

\( x_1=0 \)

\( x_2=3 \)

\( x_3=11 \)

\( x_4=0 \)

Контроль: \( z_{min} = 0 -19\, \cdot \, 3-5\, \cdot \,11-7\, \cdot \,0 = -112 \)