Помогите чайнику решить пределы..

[Инна26]

Всем привет! Помогите, пожалуйста, с решением пределов. Сестра заочно поступила учиться, лекций было мало, сами пытаемся разобраться.
1) lim x->3  x^2 - 9 /3(sqrt(3x) - 3).
Попробовала числитель разложить на (x-3)(x+3). Потом умножила числитель и знаменатель на (sqrt(3x) + 3). Не знаю, правильно ли? Там же 3 перед скобками.
Получилось (x-3)(x+3)(sqrt(3x) + 3) / 3(3x-9), далее сократила x-3 в числителе и знаменателе, осталось (x+3)(sqrt(3x) + 3) / 9 = 36/9=4.
2) lim x->0 1-cos4x / 1-cos8x. Наверное, неправильно: 2sin(2x)^2 / 2sin(4x)^2=1/4?
3) lim x->1/2  2x-5x+2 / 4x-2. Здесь совсем не пойму, может, в числителе х должен быть в квадрате?

[tig81]

Запись нечитабельна

[Asix]

Используйте TEX для написания формул, так формулы лучше воспринимаются!

[renuar911]

3) Да, должно быть

\( 2x^2-5x+2=(x-2)(2x-1) \)

Дальше, думаю, просто.

2) совсем уж просто: при x->0 делаем эквивалентные замены вида

\( 1-\cos{u} \sim \frac{u^2}{2} \)

То есть в Вашем примере

\( 1-\cos{4x} \sim \frac{16x^2}{2} \)

\( 1-\cos{8x} \sim \frac{64x^2}{2} \)

Остальное - только удовольствие.

1) Все верно.

[Инна26]

Спасибо огромное за помощь! А вот как решить такой предел: \(  (x / x-1)^x/2 \)? Здесь нужно использовать второй замечательный предел? Пытаюсь решить, ерунда какая-то получается, ответ у меня e^1/2. Забыла, x стремится к бесконечности.

[renuar911]

Это запросто сводится к: (предел не пишу, только функцию)

\( \left (\frac{x-1}{x}\right ) ^{-\frac{x}{2}}=\left (1-\frac{1}{x}\right ) ^{-\frac{x}{2}} \)

Отсюда и рога ответа растут

[Инна26]

Спасибо большое!