2 задачи с олимпиады

[KuchaTrupoff]

№1 
Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Пытался раскладывать по разному выражение \( x^3+y^3=x-y \) , но ничего не вышло. Посоветуйте, как решить.

№2
Две окружности, радиусами 3 и 5 касаются внутренним образом. Хорда большей окружности касается меньшей окружности, и точкой касания делится в отношении 3:5. Найти длину хорды.

Своих мыслей почти не было. Выразить ничего не получилось. Даже рисунок был не совсем понятен

[renuar911]

1. Я не уверен, что это так, поскольку никаких ограничений на знаки чисел в задаче нет. Берем

\( x=-3.265948481 \) ;  

\(  y=3.055090919 \)

\( x^3+y^3=-6.32103940 \)

\( x-y=-6.32103940 \)

\( x^2+y^2=20 > 1 \)

Могу привести формулы расчета x и y для любой наперед заданной суммы квадратов. Формулы длинные, но если их скопировать для Мапл или любой другой системы, то все легко рассчитывается.

[KuchaTrupoff]

Можете поподробнее расписать подход? Я решал не на компьютере, а на листке, без калькулятора и справочных материалов.

[renuar911]

Вручную такое не решить - только графически. Но могу показать как решал в Мапл

solve({x^3+y^3=x-y,x^2+y^2=a},[x,y]);allvalues(%);

По этим командам после упрощения получим:

x:= (-6*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)*(-3*a*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)-(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(2/3)+9*a^2-4+4*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)))^(1/2)*(-3*a*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)-(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(2/3)+9*a^2-4-2*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3))/(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)/(-6*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(2/3)+(-12+18*a)*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)+54*a^2-24);

y:= 1/6/(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)*(-6*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)*(-3*a*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)-(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(2/3)+9*a^2-4+4*(8+3*(81*a^6-108*a^4+48*a^2)^(1/2))^(1/3)))^(1/2);

Если эти формулы скопировать, то, задаваясь любым

\( a=x^2+y^2 \)

найдем эти самые X и Y.

Что я и сделал, задавшись a=20

А вот как решить графически:

plot({(-27*x^3+sqrt((27*x-27*x^3)^2+108)+27*x)^(1/3)/(3*2^(1/3))-2^(1/3)/(-27*x^3+sqrt((27*x-27*x^3)^2+108)+27*x)^(1/3),sqrt(20-x^2),-sqrt(20-x^2)},x=-4..4,thickness=3);



Пересечения кривых дают решения для X  при a=20 (либо положительное, либо отрицательное в нашем случае
\( x=\pm 3.266 \)). Значение y легко вычислить по второй формуле (где сумма квадратов).

То же самое дает Вольфрам, если набить в окошке

solve(x^3+y^3=x-y,x^2+y^2=20)

[KuchaTrupoff]

Посмотрел решение через мапл, даже вдаваться не стал.  Тем более вопрос найти x и y при которых сумма квадратов меньше 1, а как там это реализовать я не понял.

И все так, должно быть какое-то более простое решение. Все таки это еще школьный уровень.

[tig81]

№1  Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.

А какого знака числа не сказано?
Можно показать, что \( x^2+y^2=1-xy \) при условии, что \( x^3-y^3=x-y \). Но тогда если х и у одного знака, то получаем требуемый результат, а если разного, то надо думать.

[renuar911]

Через Мапл очень просто! После кликанья по X  и  Y  набиваешь

a:=20; evalf(x); evalf(y);

и все дела.
 
Только что скопировал все три команды с моих постов - получился тестовый пример. Теперь только меняй цифру 20 на любую другую и получай икс с игреком.

"И все так, должно быть какое-то более простое  решение. Все таки это еще школьный уровень."

Уровень-то школьный, да неизвестно что доказывать. Я же в цифрах показал, что сумма квадратов может иметь значение хоть миллион, хоть одна десятимиллионнная.