Помогите исследовать функцию на непрерывность.

[Avenue_hoche]

Задание: Исследовать функцию на непрерывность на всей области определения. Сделать схематичный чертёж графика функции.
F(x) = cosx^3, x </= -pi/2
          tgx,        -pi/2 < x </= 0
          x/(x^2-4)     x>0
</= - так я обозначала значок меньше либо равно
Моё решение:
Данная функция определена и непрерывна на интервалах:  (- ∞; -pi/2), (-pi/2; 0), (0; +∞)
В точках x1=-pi/2 и  x2=0 возможены разрывы.
Вычисляем левый предел:     lim(x→-pi/2)cosx^3 = …дальше я не знаю как решать.
Соответственно как вычислить правый предел я тоже не знаю:  lim(x→-pi/2)tgx= …
Теперь, насколько я знаю, их нужно сравнить и узнать какого рода точка разрыва.
Снова вычисляем левый предел:     lim(x→0)tgx = 0 – верно?
Вычисляем правый предел: lim(x→0)x/(x^2-4) = 0 – верно? (X во второй степени минус 4 (не в степени))
Пределы равны, чертим график, а что дальше делать и что писать – я не знаю. К сожалению, в математике голова совсем не соображает.
Помогите, пожалуйста! Заранее спасибо.  

[tig81]

Вычисляем левый предел:     lim(x→-pi/2)cosx^3 =

Не видно, что это именно левый предел.

…дальше я не знаю как решать.

Что именно непонятно.
П.С. У вас косинус в кубе или только его аргумент?

Снова вычисляем левый предел:     lim(x→0)tgx = 0 – верно?

Да

Вычисляем правый предел: lim(x→0)x/(x^2-4) = 0 – верно? (X во второй степени минус 4 (не в степени))

Да. Только опять не показано, что это односторонние пределы.

Пределы равны,

А равны значению функции в точке? И не сделан вывод: функция непрерывна в точке, имеет разрыв такого-то рода?....

чертим график, а что дальше делать и что писать – я не знаю.

Сделать схематичный чертёж графика функции.

После этого вопроса больше ничего нет.

[Avenue_hoche]

Не видно, что это именно левый предел.

   А как показать, что это левый предел? Нас учили просто ставить минусь над –pi/2-.

Что именно непонятно.
П.С. У вас косинус в кубе или только его аргумент?

   Те, я не знаю, какой получится ответ.
   Только аргумент в кубе.

Да. Только опять не показано, что это односторонние пределы.

   Т.е. если над левым пределом над 0 указать «-», а над правым пределом над 0 указать «+» будет верно? Т.е. lim(x→0(а над 0 подписать знак минуса в левом, а в правом плюс))

А равны значению функции в точке? И не сделан вывод: функция непрерывна в точке, имеет разрыв такого-то рода?...

.
   Подскажите, как определить равны ли значению функции в точке? Есть такая формула, но я не знаю как ей воспользоваться: lim(x→a)f(x)= lim(x→a)f(x)≠f(a). И как показать это в моей записи.
   Т.к. lim(x→0-) равен пределу lim(x→0+), отсюда следует, что х2=0 – устранимая точка разрыва первого рода.

После этого вопроса больше ничего нет.

   Т.е. как я закончу все расчёты (а я не знаю как их закончить) нужно будет начертить график функций:
          cosx^3,        (- ∞; -pi/2),
          tgx,              (-pi/2; 0),        
          x/(x^2-4)     (0; +∞).
Учитывая какого рода точки, например, если первого рода, то её нужно штриховать и т.д.
Большое спасибо за то, что Вы мне помогаете!

[Avenue_hoche]

Это задание, на всякий случай.

[Avenue_hoche]

Это сам пример.

[tig81]

А как показать, что это левый предел? Нас учили просто ставить минусь над –pi/2-.

Над не знаю, ставят или нет, а вот справа от точки - да, т.е. \( \lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2}-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\frac{\pi}{2}-}f(x) \). Либо пишут \( f(-\frac{\pi}{2}-0) \)

Те, я не знаю, какой получится ответ.

Когда подставляете вместо х значение, что получаете?

Только аргумент в кубе.

Ясно.

Т.е. если над левым пределом над 0 указать «-», а над правым пределом над 0 указать «+» будет верно?

Только не "над", смотрите выше.

Подскажите, как определить равны ли значению функции в точке?

Найти значение функции в заданной точке и сравнить полученные результаты.

Есть такая формула, но я не знаю как ей воспользоваться: lim(x→a)f(x)= lim(x→a)f(x)≠f(a). И как показать это в моей записи.

Скорее всего такая:lim(x→a-)f(x)= lim(x→a+)f(x)≠f(a). Это означает, что в точке а функция имеет устранимый разрыв.

Т.к. lim(x→0-) равен пределу lim(x→0+), отсюда следует, что х2=0 – устранимая точка разрыва первого рода.

Найдите еще и f(0).

Т.е. как я закончу все расчёты (а я не знаю как их закончить) нужно будет начертить график функций:
          cosx^3,        (- ∞; -pi/2),
          tgx,              (-pi/2; 0),        
          x/(x^2-4)     (0; +∞).

Да.

Учитывая какого рода точки, например, если первого рода, то её нужно штриховать и т.д.

Что значит заштриховать? Если в точке разрыв, то ее надо выколоть.

[Avenue_hoche]

Цитата: Avenue_hoche от Сегодня в 13:34:04
А как показать, что это левый предел? Нас учили просто ставить минусь над –pi/2-.
Над не знаю, ставят или нет, а вот справа от точки - да, т.е.  . Либо пишут 
•   Большое спасибо
Цитировать
Те, я не знаю, какой получится ответ.
Когда подставляете вместо х значение, что получаете?
•   cosx^3=cos(-pi/2)^3 …и что же получится? …=cos(-(pi)^3/8) я правда не знаю, что получится…
Цитировать
Т.к. lim(x→0-) равен пределу lim(x→0+), отсюда следует, что х2=0 – устранимая точка разрыва первого рода.
Найдите еще и f(0).
•   f(0)=tg0? = 1 …или я не знаю.

•   Я прошу прощения за мою необразованность. Дело в том, что в школе математика у меня преподавалась очень-очень плохо, и только придя в ВУЗ я начала хоть что-то понимать. Но те провалы из школьного курса сейчас очень сильно сказывают. Пытаюсь их устранить.

•   Спасибо!

[Avenue_hoche]

Проверьте, пожалуйста, праильность решения. Именно ход решения, а не сам ответ.

[Avenue_hoche]

Продолжение (а)

[Avenue_hoche]

Забыла написать сами условия: 

[Avenue_hoche]

Решение (б)

[Avenue_hoche]

Решение (б) продолжение:

[Avenue_hoche]

Решение (б) продолжение:

[Avenue_hoche]

Решение (б) продолжение:

[Avenue_hoche]

Решение (в):