Помогите решить пределы

[L-True]

И если кто может ,подскажите как решать 2,3 и 6, а то мне завтра уже сдавать, только они остались...(

[renuar911]

Самый простой пример - это 6)
Эквивалентная замена:

\( e^{x^2}-1 \sim x^2 \)

Предел сразу равен 1.

Во втором примере - эквивалентные замены синуса и логарифма, затем сведение ко второму замечательному пределу

В третьем примере - замена \( x=t+4\pi \) , котангенс выражаем через тангенс, cos t заменяем на  \( 1-2sin^2(\frac{t}{2}) \)
Потом делаем эквивалентные замены тангенса и синусов и приводим ко второму замечательному пределу.

[L-True]

а в 6 на основании чего мы можем так сделать?
2,3 всё равно не понял как (

[renuar911]

в шестом примере мы делаем эквивалентную замену и в числителе будет \( x^2 \)

В знаменателе \( x^2 \) уже есть. Они сокращаются. А показатель степени  при x=0 равен 6. В итоге получаем 1.

[L-True]

Оказалось нельзя решать через замены,ь а строго приводить ко второму или первому зам.пределам(
Кто может помочь?

[L-True]

Помогите решить плз,до завтра очень нужно(
Могу денюшек на телефон кинуть)

[renuar911]

Я покажу, почему шестой пример ко второму замечательному не сводится. Показатель степени

\( \frac {6}{1+x}  \)

при х=0 однозначно становится равным 6. Таким образом степень в процессе вычисления не участвует. Приходится брать предел:

\( \lim \limits_{x \to 0} \left (\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\right )^6 \)

Тут второй замечательный ни причем, и единственый путь - эквивалентная замена или правило Лопиталя.

[L-True]

то есть так понял, что никак нельзя через замечательные
не поможете с 3-мя оставшимися пожалуйста?

[L-True]

Помогите  со вторым и 3...

[renuar911]

2)

\( \lim \limits_{x \to 0} (1-x \sin ^2{x})^{\frac{1}{\ln(1+\pi x^3)}} = \lim \limits_{x \to 0} (1-x^3)^{\frac{1}{\pi x^3}}= e^{-\frac{1}{\pi}} \)

[L-True]

2)

\( \lim \limits_{x \to 0} (1-x \sin ^2{x})^{\frac{1}{\ln(1+\pi x^3)}} = \lim \limits_{x \to 0} (1-x^3)^{\frac{1}{\pi x^3}}= e^{-\frac{1}{\pi}} \)

извините , а можно объяснить?

[lu]

таблицу эквивалентностей посмотрите
sin а ~ а
ln(1+а) ~ а

[L-True]

c 3-ем поможет кто?

[L-True]

Зашёл в тупик(
Через exp нельзя