Помогите решить пределы

[L-True]

Можно пользоваться только 1-м и 2-м замечательными пределами и их свойствами

[Casper]

а где попытки решения?

[Asix]

Что Вы делали и что не получается?
Какие есть свои мысли?? =))

Для начала нам интересны Ваши мысли и действия для решения задачи, дальше мы обязательно поможем и подталкнем =))

[L-True]

Честно говоря уже нет никаких мыслей после решения тринадцати номеров я иссяк(
Если нужно могу показать 13 -ть решённых, в доказательство тому, что я решал , а не просто спрашиваю

[L-True]

Вот что думаю на счёт последнего
т.к sin(1/x) -ограничена ,а arctg стремится к 0  при х стремящ. к 0 то  получим предел lim_x->0 ln2=ln2

[L-True]

такой вопрос можно ли использовать замену экв. б.м?

[L-True]

Вот в 4 примере дальше не знаю что делать(

[Casper]

такой вопрос можно ли использовать замену экв. б.м?

не понял.
эквивалентных чего то похоже, можно, если с умом это делать.)

[Casper]

Честно говоря уже нет никаких мыслей после решения тринадцати номеров я иссяк(
Если нужно могу показать 13 -ть решённых, в доказательство тому, что я решал , а не просто спрашиваю

как так, наоборот, опыт появляется и они как орехи решаться должны;)

[renuar911]

Верно: эквивалентные замечательно работают. А опыт - сын ошибок трудных...

\( \lim \limits_{x \to b} \frac{a^x-a^b}{x-b} =a^b \lim \limits_{x \to b} \frac{a^{x-b}-1}{x-b}  \, \to \, t=x-b \, \to \, a^b \lim \limits_{t \to 0} \frac{a^t-1}{t} = a^b \lim \limits_{t \to 0} \frac{t \cdot \ln{a}}{t} = a^b \ln{a} \)

[L-True]

Честно говоря уже нет никаких мыслей после решения тринадцати номеров я иссяк(
Если нужно могу показать 13 -ть решённых, в доказательство тому, что я решал , а не просто спрашиваю

как так, наоборот, опыт появляется и они как орехи решаться должны;)

ну когда дальше идут сложней и сложней,то не выходит(

[renuar911]

Очень заинтересовал 4-й предел (мне он показался необычайно красивым!). Тем более, что автор темы зашел в тупик. Итак:

\( \lim \limits_{x \to \pi}\frac{\ln{\cos{2x}}}{(1-\frac{\pi}{x})^2}= \lim \limits_{t \to 0}\frac{\ln{\cos{2t}}}{(1-\frac{\pi}{t+\pi})^2}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{(t+\pi)^2\ln{\cos{2t}}}{t^2}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{(t+\pi)^2 \ln (1-2t^2)}{t^2}=\lim \limits_{t \to 0}\frac{(t+\pi)^2(-2t^2)}{t^2}=-2\pi^2 \)

P.S.

1)Во второй дроби пишу cos(2t) потому что

\( \cos(2t+2\pi)=\cos(2t) \)

2) Далее

\( \cos{2t}=1-2 \sin^2{t} \,\to\, 1-2t^2 \)

[renuar911]

Такого же плана и первый предел.

\( x=t+\frac{\pi}{4} \)

\( \lim \limits_{t \to 0} \left [\sin {(2t+\frac{\pi}{2})}\right ]^{\frac{(t+\pi /4)^2-\pi^2/16}{t+\pi/4-\pi/4}=\lim \limits_{t \to 0} \left (1-2t^2 \right )^{t+\pi/2}=1 \)

Здесь нужно учесть

\( \sin (2t+\frac{\pi}{2})=\cos {2t} = 1-2\sin ^2 t \,\to \, 1-2t^2 \)

[renuar911]

Делал пример ночью и не заметил, что пример заканчивал в уровне показателей степени. Поправил:


\( x=t+\frac{\pi}{4} \)

\( \lim \limits_{t \to 0} \left [\sin {(2t+\frac{\pi}{2})}\right ]^{\frac{(t+\pi /4)^2-\pi^2/16}{t+\pi/4-\pi/4}}=\lim \limits_{t \to 0} \left (1-2t^2 \right )^{t+\pi/2}=1 \)

Здесь нужно учесть

\( \sin (2t+\frac{\pi}{2})=\cos {2t} = 1-2\sin ^2 t \,\to \, 1-2t^2 \)

[L-True]

Вот что думаю на счёт последнего
т.к sin(1/x) -ограничена ,а arctg стремится к 0  при х стремящ. к 0 то  получим предел lim_x->0 ln2=ln2

не подскажите ,хотя бы правильно думаю?