Предел функции. Что им от меня надо?

[zxvenom]

есть вот такой пример:

lim фи(x) = 4
x->4

фи это просто функция, и надо просто узнать, при какой функции придел будет 4? То есть при функции  фи(х)=х ?

Или вот ещё один:

фи(5-0)=3
фи(5+0)=-2

здесь вообще полный финиш...

что здесь от меня требуется, какой результат я должен узнать, и что это за фи?

[renuar911]

Объясню на конкретном примере (его тут недавно рассматривали). Пусть Ваше фи(х) выражено дробью:

\( \frac{16-x^2}{x^3-64} \)

Если принять х=4, то и в числителе и в знаменателе окажутся нули, то есть мы будем иметь выражение \( \frac{0}{0} \). Как быть? Какой из нулей более нулевой?
Чтобы решить эту проблему и придумали понятие предела и записывают так:

\( \lim \limits_{x \to 4} \frac{16-x^2}{x^3-64} \)

Вычисляют пределы разными способами. В данном случае лучше в числителе раскрыть разность квадратов, а в знаменателе - разность кубов. Получим:

\( \lim \limits_{x \to 4} \frac{(4-x)(4+x)}{(x-4)(x^2+4x+16)} \)

Теперь можно сократить дробь на (4-x), изменив знак перед пределом:

\( - \lim \limits_{x \to 4} \frac{4+x}{x^2+4x+16} \)

Теперь, если мы подставим x=4, то получим уже не отношение нулей а конкретное число

\( -\frac{1}{6} \)

Возможно от Вас потребовали найти такое выражение предела, при котором получается не -1/6, а 4.

Этим Фи(х) могла бы стать, например, дробь:

\( -24\frac{16-x^2}{x^3-64} \)

Теперь:

\( \lim \limits_{x \to 4}-24 \frac{16-x^2}{x^3-64}=4 \)

Таких функций можно изобрести тьма-тьмущая. Ваш первый вопрос разрешен.

[testtest]

фи(5-0)=3
фи(5+0)=-2

здесь вообще полный финиш...

здесь вообще разрыв I-го рода. функцию можно составить в виде
\( \varphi(x) = \begin{cases}
3, ~~~x < 5\\ -2, ~~~x > 5
\end{cases} \)

[zxvenom]

renuar911
то есть мне надо всего лишь выбрать любую из подходящих функций? Как мне повезло с первым заданием. фи(х)=х ведь тоже подходит?

testtest
я офигиваю от такой записи, она противоречит здравому смыслу! как будто если прибавить и отнять 0, то получатся два разных числа...

[testtest]

zxvenom
еще больше офигеешь, когда узнаешь, что \( \dfrac{1}{0-0} \neq \dfrac{1}{0+0} \)
и даже более того, что \( -0 = 0.(9) - 1 \neq - (1 - 0.(9)) = +0 \)

[zxvenom]

zxvenom
\( -0 = 0.(9) - 1 \)

С чего это вдруг? Это только на калькуляторе так, погрешности вычислений всё-таки. Но реально же они не равны, правая часть только стремится к этому?

[testtest]

вот \( -0 \) как раз и обозначает "стремится". и \( +0 \) тоже, только с другой стороны.

[zxvenom]

"обозначает"... Ладно, надо перестать спорить и просто привыкнуть к обозначению... Спасибо.

[renuar911]

renuar911
то есть мне надо всего лишь выбрать любую из подходящих функций? Как мне повезло с первым заданием. фи(х)=х ведь тоже подходит?

Подходит, но тут предел ни к чему. Чтобы предел был оправдан, нужно чтобы Фи(х) при х=4 равнялась бы 0/0 или бесконечность на бесконечность или другие неясности.

Можете еще привести пример:

\( \lim \limits_{x \to 4} \frac{x^2(e^{\sqrt{x}-2}-1)}{sin(x-4)}=4 \)

[zxvenom]

ок, ясно. Спасибо.

[everest]

zxvenom
еще больше офигеешь, когда узнаешь, что \( \dfrac{1}{0-0} \neq \dfrac{1}{0+0} \)

Можете объяснить об этот поподробней, или ссылку дать на объяснение?