Помогите определить эпсилон до пятого знака

[Fairmont]

Если корни только мнимые, метод деления пополам ничего не найдет, так как нет пересечения кривой с осью ОХ. Тут, мне кажется, что-то наврано в уравнении. Ошибка чисто стилистическая.
Если бы, например, было такое   \( {e}+x^2-5=0  \)

тут можно было бы применить десятки численных методов поиска корней уравнения.
Что-то мне с Вашей буквой e не очень ясно. Ну и с эпсилон тоже. Написание их подозрительно похожи.

Дико извиняюсь нашёл опечатку \( {e}^{2x+1}+x^2-5=0    \)

[renuar911]

Тут проще всего организовать итерацию Ньютона:

\( x_{n+1}=x_n - \frac{e^{2x_{n}+1} + x_{n}^2 - 5}{2e^{2x_{n}+1} + 2x_{n}} \)

Результат такой:
 \( n   \qquad x_n  \qquad \qquad x_{n+1} \qquad x_n-x_{n+1} \)
 1 1.00000000 0.61856468 0.3814353171
 2 0.61856468 0.38075588 0.2378088011
 3 0.38075588 0.30286100 0.0778948844
 4 0.30286100 0.29593676 0.0069242335
 5 0.29593676 0.29588652 0.0000502430
 6 0.29588652 0.29588652 0.0000000026

Такой же результат дает метод Монте-Карло. По проге

z=.1
s=1000
n=20000
x0=1
for i=1 to n
x=x0*(1+z*(ran()-.5))
f=abs(exp(2*x+1)+x^2-5)
if f<=s then print x using "##.########",s
s=f
x0=x
fi
next i

получим в конце  x  = 0.29588646  с точностью 0,000023
Однако тут потребовалось 20 тыс. циклов, а в итерации Ньютона всего 6 циклов и точность аж 0.0000000026

[Casper]

Найдите решение уравнения\( {e}^{2+1}+x^2-5=0 \) на отрезке [0;1]
до \( \epsilon =0.00001 \)

Посмотрите задание, не так ли там записано

\( {e}^{x+1}+x^2-5=0 \)
Тогда можно и решить.

[Casper]

ой, я туплю.))

[Fairmont]

Тут проще всего организовать итерацию Ньютона:

\( x_{n+1}=x_n - \frac{e^{2x_{n}+1} + x_{n}^2 - 5}{2e^{2x_{n}+1} + 2x_{n}} \)

Результат такой:
 \( n   \qquad x_n  \qquad \qquad x_{n+1} \qquad x_n-x_{n+1} \)
 1 1.00000000 0.61856468 0.3814353171
 2 0.61856468 0.38075588 0.2378088011
 3 0.38075588 0.30286100 0.0778948844
 4 0.30286100 0.29593676 0.0069242335
 5 0.29593676 0.29588652 0.0000502430
 6 0.29588652 0.29588652 0.0000000026

Такой же результат дает метод Монте-Карло. По проге

z=.1
s=1000
n=20000
x0=1
for i=1 to n
x=x0*(1+z*(ran()-.5))
f=abs(exp(2*x+1)+x^2-5)
if f<=s then print x using "##.########",s
s=f
x0=x
fi
next i

получим в конце  x  = 0.29588646  с точностью 0,000023
Однако тут потребовалось 20 тыс. циклов, а в итерации Ньютона всего 6 циклов и точность аж 0.0000000026

А можно узнать в какой вы программе делали?

[renuar911]

Все делал в Yabasic. Но алгоритм настолько прозрачный, что легко его перенести на любой другой язык. Итерацию Ньютона можно делать даже на калькуляторе. Я же составил простенькую прогу и прогнал задачку за пару секунд. Возьмите мои данные и скажите преподу, что рассчитали вручную на машинке. Он поверит. А расписать можно подробно, рассматривая шесть циклов.

[Fairmont]

А место xn подставляем длину отрезков? Просто я хочу разобраться

[renuar911]

На первом этапе принимаем , допустим x1=1. Вставляем ее в формулу и на выходе получим 0,618...
Эту величину x2=0.618... снова прогоняем в формуле и получим x3=0.380...
И так далее, пока предыдущее значение и вычисленное почти не сравняются.

[Fairmont]

Огромное спасибо вроде разобрался, только не совсем понял как организовывать итерацию Ньютона

[renuar911]

Я думал, Вас этому учили. Очень просто. Имеется любая дифференцируемая функция y(x). Находим производную y'(x) и составляем итерационную структуру:

\( x_{n+1} - \frac {y(x_n)}{y'(x_n)} \)

Посмотрите на формулу, что я Вам написал - там в числителе и есть производная. По этой итерации находится один из корней уравнения y(x). Если корней несколько, то тут наблюдаются сложности - многое зависит от начального  x1. В этом случае я поступаю так: строю график в матпакете, приближенно нахожу корни и, значит, имею несколько начальных значений x1. Для каждого из них произвожу итерацию и с любой точностью нахожу корень.
 Если корней совсем нет, то структура, к сожалению, зацикливается.

[Fairmont]

Спасибо вам