Разностный метод решения задачи Коши (в чп)

[Casper]

Здравствуйте!
Пытаюсь решить квазилинейное уравнение в чп первого порядка разностным методом, столкнулся с проблемой, похоже я неверно понимаю сам метод, подскажите, в чем ошибка.

Имеется задача Коши
\( \begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{2y}{5} e^u \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{2}{5} e^u +\varphi (x,y) \\ u(0,y)=0.917
\end{cases} \)
вид \( \varphi (x,y) \) известен, то есть это известная функция.
Также известно
\( D=\{ (x,y)\, |\, 0\le x\le 1,\,\, 0.8\le y\le 5\} \)

[Casper]

Решение

Ввожу сеточную область
\( \overline D_h = \{ x_k,\, y_j \}_{k=1,\, j=1}^{l,\quad\,\,\, m \)

\( x_k=kh, \quad k=0, 1, \ldots , l \)

\( y_j=0.8+j\tau, \quad j = 0,1, \ldots , m \)

Это уравнение гиперболического типа, поэтому \( c=\frac{\tau ^2}{h^2}<1? \)
Могу ли я вять \( c=\frac{1}{4}? \)
Если да, тогда  \( h=2\tau \).

\( u(x,y)=u_{k,j} \)
\( \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{u_{k+1,j}-u_{k,j}}{h}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{u_{k, j+1}-u_{k,j}}{\tau} \)

Таким образом задача примет вид

\(
\begin{cases}
\dfrac{u_{k+1,j}-u_{k,j}}{h}+\dfrac{2(0.8+j\tau)}{5} e^{u_{k,j}}\dfrac{u_{k, j+1}-u_{k,j}}{\tau}=\dfrac{2}{5} e^{u_{k,j}}+\varphi _{k,j} \\ u_{0,j}=0.917
\end{cases} \)


Скажите, пожалуйста, верно ли я пока делаю?

[Casper]

что-то мне кажется, что ерунду пишу...(
получается, что частная производная по \( y \) в нуль обращается, а такого быть не должно.
надеюсь, что найдется человек, который сможет ответить на мои глупые вопросы..

[Casper]

А может нужно переходить к системе ОДУ и уже ее пытаться решить численно?
\( \begin{cases}
\dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{2y}{5} e^u \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{2}{5} e^u +\varphi (x,y) \\ u(0,y)=0.917
\end{cases} \)

Система ОДУ
\( \begin{cases}
\dfrac{d u}{d x}=\dfrac{2}{5} e^u +\varphi (x,y) \\ \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{5 }{2ye^u}  \\ u|_{x=0}=0.917
\end{cases} \)