РЯДЫ! Помогите разобраться, пожалуйста.

[DeadChild]

Здравствуйте! У меня возникли проблемы с рядами. Не вижу каким методом исследовать на сходимость... Подскажите, пожалуйста.
\( 1) \) Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости \( \sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[3] n}{ln^2(n+1)} \). Что тут сделать надо?

Какие признаки применять в этих рядах?
\( 2) \sum_{n=1}^\infty\frac{5+3(-1)^n}{2^{n+3}} \)
\( 3) \sum_{n=1}^\infty\frac{2\cdot 5\cdot 8\cdot \cdot \cdot (3n-1)}{1\cdot 6\cdot 11\cdot \cdot \cdot (5n-4)} \)
\( 4) \sum_{n=1}^\infty\frac{n^{2n}}{(2n)!sh n} \)
\( 5) \sum_{n=1}^\infty(\frac{n+1}{n})^{n^2}\frac{1}{3^n} \)
\( 6) \sum_{n=1}^\infty n^5e^{-\sqrt n} \)
\( 7) \sum_{n=1}^\infty\frac{(2,6)^nn!}{n^n} \)
\( 8) \sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n+2}{\sqrt{n^2+4}}arctg\frac{\pi}{\sqrt n}} \)

[renuar911]

1) Расходимость ряда доказывается тем, что предел общего члена ряда не является бесконечно малой величиной. У нас:

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{ln^2(n+1)}=\infty \)

Следовательно, ряд расходится.

[Casper]

1) Расходимость ряда доказывается тем, что предел общего члена ряда не является бесконечно малой величиной. У нас:

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{ln^2(n+1)}=\infty \)

Следовательно, ряд расходится.

Иначе, не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

[DeadChild]

1) Расходимость ряда доказывается тем, что предел общего члена ряда не является бесконечно малой величиной. У нас:

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n}}{ln^2(n+1)}=\infty \)

Следовательно, ряд расходится.

Ааа... Объясните, как бесконечность получилась?

[renuar911]

Известный факт:

\( \lim \limits_{n \to \infty}\frac {n^a}{ln^b(n)}= \infty \) если a>0 ; b>0

[DeadChild]

Понятно, спасибо!!!
А как остальное делать, можете подсказать?

[renuar911]

Пример 2) довольно простой. Это знакопостоянный ряд, в котором, правда, члены ряда "пилообразные", то есть монотонно не убывают. Чтобы доказать сходимость ряда, достоточно доказать сходимость ряда

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{8}{2^{n+3}} \)

По признаку Даламбера

\( \frac {u_{n+1}}{u_{n}}=\frac {2^{n+3}}{2^{n+4}}=\frac{1}{2} < 1 \)

Ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд 2)

[renuar911]

Пример 3)

Признак Даламбера:

 \( \frac {u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(3n+2)(5n-4)}{(5n+1)(3n-1)} \).

 Предел этого отношения равен 1. То есть неясно: расходится ряд или сходится.
Радикальный признак Коши:

\( \lim \limits_{n \to \infty}\left (\frac{3n-1}{5n-4} \right )^{\frac{1}{n}}=1 \)

Опять неясно - расходится или нет
Интегральный признак Коши:

\(  \int \limits_{1}^{\infty}\frac{3x-1}{5x-4}dx=\infty  \)

Итак, ряд  3) расходится.

[renuar911]

Пример 4)
Тут лучше всего воспользоваться радикальным признаком Коши:

\( \lim \limits_{n \to \infty} \left [\frac{n^{2n}}{(2n)! sh(n)} \right ]^\frac{1}{n}= \frac {e}{4} < 1 \)

Следовательно, ряд сходящийся.

[Alexdemath]

Пример 3)

Признак Даламбера:

 \( \frac {u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(3n+2)(5n-4)}{(5n+1)(3n-1)} \).

 Предел этого отношения равен 1. То есть неясно: расходится ряд или сходится.
Радикальный признак Коши:

\( \lim \limits_{n \to \infty}\left (\frac{3n-1}{5n-4} \right )^{\frac{1}{n}}=1 \)

Опять неясно - расходится или нет
Интегральный признак Коши:

\(  \int \limits_{1}^{\infty}\frac{3x-1}{5x-4}dx=\infty  \)

Итак, ряд  3) расходится.

renuar911, Вы не учли произведение; ряды с произведениями так не исследуют!!

\( {\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot6\cdot11\cdots(5n-4)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}.} \)

\( {a_n=\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}~\Rightarrow~a_{n+1}=\prod\limits_{k=1}^{n+1}\frac{3k-1}{5k-4}=\frac{3(n+1)-1}{5(n+1)-4}\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}=\frac{3n+2}{5n+1}\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}.} \)

\( {\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n+2}{5n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3+2/n}{5+1/n}=\frac{3}{5}<1.} \)

Следовательно, по признаку Даламбера, данный ряд сходится.

[renuar911]

Ах да... Это я явно маханул. Все о суммах, да о суммах думал ... не надо было ночью решать 

[DeadChild]

renuar911, Вы не учли произведение; ряды с произведениями так не исследуют!!

\( {\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n-1)}{1\cdot6\cdot11\cdots(5n-4)}=\sum\limits_{n=1}^\infty\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}.} \)

\( {a_n=\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}~\Rightarrow~a_{n+1}=\prod\limits_{k=1}^{n+1}\frac{3k-1}{5k-4}=\frac{3(n+1)-1}{5(n+1)-4}\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}=\frac{3n+2}{5n+1}\prod\limits_{k=1}^n\frac{3k-1}{5k-4}.} \)

\( {\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n+2}{5n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3+2/n}{5+1/n}=\frac{3}{5}<1.} \)

Следовательно, по признаку Даламбера, данный ряд сходится.

ААА!!! Что это? Мы такое не проходили даже!

[DeadChild]

Пример 2) довольно простой. Это знакопостоянный ряд, в котором, правда, члены ряда "пилообразные", то есть монотонно не убывают. Чтобы доказать сходимость ряда, достоточно доказать сходимость ряда

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{8}{2^{n+3}} \)

По признаку Даламбера

\( \frac {u_{n+1}}{u_{n}}=\frac {2^{n+3}}{2^{n+4}}=\frac{1}{2} < 1 \)

Ряд сходится. Следовательно, сходится и ряд 2)

Я его исследовала с помощью признака Коши. Проверьте, пожалуйста, кто-нибудь...
\( \lim \limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac {5+3(-1)^n}{2^{n+3}}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{5+3(-1)^n}}{\sqrt[n]{2^n}\sqrt[n]{2^3}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{5+3(-1)^n}}{2\sqrt[n]{2^3}}=\frac{1}{2}<1 \) следовательно ряд сходится.