Решаем предел

[Энжел]

Очень хочется решить этот предел, да не выходит. Прошу помощи.
\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}\cdot arctg{x}}{2(1-cos^3{x})} \)
Здесь имеем неопределенность 0/0. Для ее раскрытия должно быть использовано след. правило: в числителе и знаменатели мы выделяем критический множитель (х-0)=0. Для его выделения мы должны использовать принцип зпамены эквивалентных бесконечно малых. Но как это применить именно к этому выражению, я не знаю.

[tig81]

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}\cdot arctg{x}}{2(1-cos^3{x})} \)

Предел такой? Правильно я у вас подправила?

[Энжел]

Нет,  двойка из знаменателя должна быть в числителе: arctg x/2. А в знаменателе выражение 1-\( cos^3 x \)

[renuar911]

Это уже интересный предел! Делаем эквивалентную замену арктангенса и раскрываем разность кубов в знаменателе:

\( \lim \limits_{x \to 0}\frac{e^{4x} x}{2(1-\cos x)(1+\cos x + \cos^2 x )}= \lim \limits_{x \to 0}\frac{e^{4x} x }{2 \cdot \frac {x^2}{2}(1+\cos x + \cos^2 x )}= \lim \limits_{x \to 0}\frac{e^{4x}}{3x} \)

Тут разрыв функции. Нужно просто будет доказать, что при x -> 0 слева предел стремится к минус бесконечности.
А при x->0 справа предел стремится к плюс бесконечности.

[tig81]

Нет,  двойка из знаменателя должна быть в числителе: arctg x/2. А в знаменателе выражение 1-\( cos^3 x \)

Т.е. \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{4x}\cdot arctg{\frac{x}{2}}}{1-\cos^3{x}} \)?

[Энжел]

Совершенно верно, Вы все написали правильно сейчас.

[Энжел]

Я так предполагаю,  renuar 911 помог мне решить первый (неверный) вариант моей записи.
Спасибо tig81, которая регулярно исправляет мои "косяки" в ТЕХе и не только.

[tig81]

Я так предполагаю,  renuar 911 помог мне решить первый (неверный) вариант моей записи.

По-моему, все таки он решил "верный" вариант вашей записи.

Спасибо tig81, которая регулярно исправляет мои "косяки" в ТЕХе и не только.

Да не за что.

[Энжел]

Не соображу, откуда тогда в знаменателе появилась 2? Ведь разность кубов не имеет в формуле двойки.

[tig81]

Не соображу, откуда тогда в знаменателе появилась 2? Ведь разность кубов не имеет в формуле двойки.

\( arctg{x}\sim x,\,x\rightarrow 0,\, arctg{\frac{x}{2}}\sim \frac{x}{2} \)

[Энжел]

Тогда огромная благодарность всем тем, кто кто не остался безучастным.

[tig81]

 

[Энжел]

Слушайте, вроде все поняла, что нужно доказать.А как дело дошло - села в "калошу". С чего хоть нужно начинать это доказательство? И какая тут изначально неопределенность, 0/0?

[tig81]

С чего хоть нужно начинать это доказательство?

Доказательство чего?

[Энжел]

Да вот, renuar911, пишет: Тут разрыв функции. Нужно просто будет доказать, что при x -> 0 слева предел стремится к минус бесконечности.
А при x->0 справа предел стремится к плюс бесконечности. А как же это доказать?