Исследовать функкцию с помощью производной и построить её график

[DimeX]

Здраствуйте, очень срочно нужна Ваша помощь. Мне необходимо построить график функции: y=x²(4-x)^-1
Исследование функции имеется, а вот сам график отсутствует.

Решение:

1. Областью определения функции служит вся числовая ось, за исключением т. x=4, в которой знаменатель функции обращается в ноль. Поэтому:
D(y)=(-∞; 4)U(4; +∞)

График функции будет состоять из двух частей.

2. Функция терпитразрыв в точке x=4, т.к. функция элементарная и в этой точке не определена.
lim_x⇒4-0 y= lim _x⇒4-0 x²/4-x= +∞;
lim_x⇒4+0 y = lim _x⇒4+0 x²/4-x= -∞;

Точка х=4 есть точка разрыва второго рода.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. не выполняется ни одно из условий:
∫(-х)= -∫(х); ∫(-х)= ∫(х)

Функция непериодическая.

4. Кривая пересекает ось координат в точке (0;0). В интервале (-∞; 4) функция положительна, в интервале (4; +∞) - отрицательна.

5. Найдем асилептаты функции.
а) т.к. lim_x⇒4-0 y = +∞, а lim_x⇒4+0 y = = -∞, то прямая х=4 является вертикальной асилептотой кривой;
б) уравнения наклонных асилептот ищем в виде у= к_х+b. Определим значения коэффициентов Ки b:
k= lim_x→∞ y/x = lim_x→∞ x/4-x= -1;
b= lim_x→+∞ (y-k_x= lim_x→+∞ (x²/x-4 + x)= ∞

То мы получим при х→-∞
Следовательно, кривая наклонной асилептоты не имеет.

6. Найдем точки экстремиума и интервалы монотонности. Для этого найдем первую производную и критические точки: y'= 2x(4-x)+x²/(4-x)²= x(8-x)/(4-x)²

Если y'=0, то x(8-x)=0 или x₁=0; x₂=8. Производная y' не существует при x₃=4, но эта точка не является критической, т.к. области определения функции не принадлежит. Составляем таблицу, включающую критические точки и точки разрыва.
х     (-∞; 0)          0                        (0; 4)             4             (4;8)        8        (8+∞)
y'        -               0                           +            не сущ.          +           0           -
y     убыв.            0_мин                   возр.          не сущ.       возр.      -16_max    убыв.

y_min= y(0)=0; y_max= y(8)= 64 (4-8)= -16

7. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и точки перениба. Для этого найдем вторую производную:
y''= (8-2x)(4-x)²-(8x-x²)*2(4-x)(-1)/(4-x)⁴ = 2(4-x)²+2x(8-x)/(4-x)³ = 32/(4-x)³

Видно, что в точке x=4 y'' не существует. При x<4 y''>0 и кривая выпукла вниз; при x>4 y''<0 и кривая выпукла вверх. Точек перегиба нет, т.к. y''=0 во всех точка области определения.

8. Построим график:

И тут уже мне необходима Ваша помощь, нужен график данной функци, который построить я не могу.

[testtest]

ну а в чем проблема?
пункты 6, 7 дают достаточно информации для рисования.

асилептаты

лекции читаете? хорошо правильно будет асимптоты.

[renuar911]

У меня так же получается

[DimeX]

Спасибо большое)