Проверьте пожалуйста пределы.

[eka4904]

Здравствуйте, долго мучалась с пределами...проверьте пожалуйста! 





За ранее спасибо!

[tig81]

1. Какую неопределенность начали раскрывать?
2. Третья строка: не поняла, где делось \( e^2 \).
3. Похоже на правду

[eka4904]

Здравствуйте!

Вот исправляла, что не правильно было.
Я ворона первый предел не правильно списала теперь перерешала посмотрите пожалуйста, не знаю правильно ли?
А второй предел тоже перерешала тоже посмотрите!

[eka4904]

Помогите пожалуйста не знаю как дальше дорешать предел!? Или подскажите литературу по этому поводу.
Буду очень благодарна!

[renuar911]

Я с самого начала делал замену x=t+1. Тогда t->0 и предел сведется к выражению:

\( 2\lim \limits_{t \to 0} \frac { e^{\sqrt{3t+4}}-e^{2t+2}}{t} = -\frac{5}{2}e^2 \)

Писанины много, поэтому надеюсь, что Вы тоже найдете этот ответ.

[renuar911]

Данная задача настолько меня увлекла, что решил ее обобщить. Результат оказался очень красивым:

\( \lim \limits_{x \to 0} \frac{\exp (\sqrt{ax^n+b^2}) - \exp (cx^n+b)}{d x^n }=\frac {a-2bc}{2bd} e^b , \qquad (b>0 ; \, n>0) \)

Вопрос к опытным математикам: можно ли такое строго доказать?

Вот пример:

a:=7;b:=5;c:=3;n:=2;Limit((exp(sqrt(a*x^n+b^2))-exp(c*x^n+b))/(d*x^n),x=0)=limit((exp(sqrt(a*x^(n)+b^2))-exp(c*x^n+b))/(d*x^n),x=0);



Рассматриваемый пример:

a:=3;b:=2;c:=2;n:=1;2*Limit((exp(sqrt(a*x^n+b^2))-exp(c*x^n+b))/(d*x^n),x=0)=2*limit((exp(sqrt(a*x^(n)+b^2))-exp(c*x^n+b))/(d*x^n),x=0);



Вычисления в Мапл и по формуле в правой части равенства совпадают.

[eka4904]

Спасибо Вам большое, буду искать ответ, пытаться понять 

[eka4904]

Я сидела решала, решала и дорешала до такого ответа....вот что получилось

[tig81]

Я сидела решала, решала и дорешала до такого ответа....вот что получилось

Первая строка:
1. Как вы так лихо экспоненту за знак предела вынесли?
2. Почему у вас получился такой числитель?

[renuar911]

Нельзя за знак предела выносить зависимые от x элементы. Можно только константы.
Лучше сразу делать замену x=t+1.

[eka4904]

а вот снова я, я сколько бы не решала, у меня все равно получается ответ, где фигурирует -4....я не знаю, где я делаю ошибку!?

ссылка

и когда замену делаю х=t+1 тоже получается -4...

[tig81]

ссылка

Как перешли от второй строчки к третьей?

[eka4904]

из формулы эквивалентности бесконечно малых

[tig81]

из формулы эквивалентности бесконечно малых

Когда альфа к чему стремится?

[eka4904]

когда альфа стремится к нулю.