Помогите с неопределенным интегралом

[SanekRS]

Никак не могу вычислить неопределенный интеграл, для меня достаточно сложная тема. Решил задачку на компьютере:



а вот как выглядит сам процесс решения???
Смотрел в старых учебниках, но там достаточно скудно описана эта тема. Помогите пожалуйста вникнуть в процесс решения!

[tig81]

Никак не могу вычислить неопределенный интеграл, для меня достаточно сложная тема. Решил задачку на компьютере:



а вот как выглядит сам процесс решения???

Смотрите тему: метод интегрирования по частям.

[Dlacier]

\( \int udv=uv-\int v du \)

[SanekRS]

Нашел тему "Интегрирование по частям" там есть похожий пример Интегрирование по частям (Пример 4), но по нему совсем другой ответ получается.

[Semen_K]

 integral (4 x-2) cos(2 x) dx = (2 x-1) sin(2 x)+cos(2 x)+C

[Semen_K]

 integral (-2+4 x) cos(2 x) dx
(4 x-2) cos(2 x) = 4 x cos(2 x)-2 cos(2 x):
 =  integral (4 x cos(2 x)-2 cos(2 x)) dx
 = 4 integral x cos(2 x) dx-2 integral cos(2 x) dx
( x cos(2 x), по частям f dg = f g- integral g df, где
 f = x,     dg = cos(2 x) dx,
 df =  dx,     g = 1/2 sin(2 x):
 = 2 x sin(2 x)-2 integral sin(2 x) dx-2 integral cos(2 x) dx
( sin(2 x), подстановка u = 2 x and  du = 2 dx:
 = - integral sin(u) du+2 x sin(2 x)-2 integral cos(2 x) dx
( cos(2 x), подстановка s = 2 x and  ds = 2 dx:)
 = - integral cos(s) ds- integral sin(u) du+2 x sin(2 x)
(integral  cos(s) = sin(s))
 = -sin(s)- integral sin(u) du+2 x sin(2 x)
( integral  sin(u) = -cos(u):
 = -sin(s)+cos(u)+2 x sin(2 x)+С
возвращаем замену s = 2 x:
 = cos(u)+2 x sin(2 x)-sin(2 x)+С
возвращаем замену u = 2 x:
 = 2 x sin(2 x)-sin(2 x)+cos(2 x)+С
 = (2 x-1) sin(2 x)+cos(2 x)+С

Можно короче и проще, но я специально расписал так подробно, чтобы было понятнее каждый шаг последовательно

[testtest]

\( \int\left(4x-2\right)\cos{2x} dx = \int 4x\cos2xdx - \int\cos{2x}d\left(2x\right) \)

\( \int 4x\cos2xdx = \int 2xd\left(\sin 2x\right) = 2x\sin 2x - \int\sin 2x d\left(2x\right) \)

\( 2x\sin 2x + \cos 2x - \sin 2x + C \)

ну тогда ладно