Дифференциальное уравнение

[sir. Andrey]

\( y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0 \)

Я ввожу параметр \( p=y' \)

\( y^2p^2+2xyp-y^2+1=0 \)

Ну а что делать дальше, ума не приложу...
Есть только догадки:
можно найти \( y_1=\frac{-2xp+\sqrt{4x^2p^2-4(p^2-1)}}{2(p^2-1)} \)
\( y_2=\frac{-2xp-\sqrt{4x^2p^2-4(p^2-1)}}{2(p^2-1)} \)

Если подставить вместо \( y \), то получится бред, скорее всего я с самого начала сделал не правильно!

[renuar911]

Странное дело. Вольфрам дает решение

\( y(x)=\pm \sqrt{-C_1 x + C_1^2 +1} \)

Но подставляю в исходник, - не бъет

ссылка

Набиваю    y^2*(y')^2+2 x y y'-y^2+1=0

[tig81]

Странное дело. Вольфрам дает решение

Maple не дает решения.

[testtest]

кто даст решение?

[Dlacier]

Сделай замену \( z(x)=y^2(x) \), все хорошо решается.)

renuar911, вы неправильно пишите,  вместо \( y \) нужно писать \( y[x] \).

[renuar911]

Не имеет никакого значения. И так, и так решает совершенно одинаково. Только что попробовал. Видимо, решение верное, но не умею проверить.

[Dlacier]

И у меня решение такое же.
Правда я в самом пакете делаю и там это важно.

[sir. Andrey]

\( y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0 \)

\( z=y^2 \)
\( y=\sqrt{z} \)
\( y'=\frac{1}{2\sqrt{z}} \)

Вы не поверите, у меня получилось вот так:

\( \frac{1}{4}+x-z+1=0 \)
Но это кажется не правильно!
Проверьте пожалуйста!

[Dlacier]

Почему то формулы не отправляются, вылетает постоянно.
У тебя после замены производная неправильно найдена.

[sir. Andrey]

Не может быть!!! \( \sqrt{z}=\frac{1}{2\sqrt{z}} \)

[Dlacier]

еще как может)))

\( z = y^2 \)
\( z^\prime = 2 y y^\prime \)

[sir. Andrey]

\( y^2y'^2+2xyy'-y^2+1=0 \)

\( z = y^2 \)
\( z^\prime = 2 y y^\prime \)

\( \frac{z'^2}{4}+xz'-z+1=0 \)

\( p=z' \)

\( p^2+xp-z+1=0 \)

\( z=p^2+xp+1 \)

\( dz=pdx=2pdp+xdp+pdx+1 \)

\( 2pdp+xdp+1=0  \)

Подскажите пожалуйста, что делать дальше??

[sir. Andrey]

Помогите пожалуйста, у мне уже сил ни каких нет!!! 

[renuar911]

\( \frac{z'^2}{4}+xz'-z+1=0 \)

\( z(x)=C_1\pm x \sqrt{x^2-1}\mp x^2 \mp \ln ({2 \sqrt{x^2-1}+2x}) \)

[Nikgamer]

\( y'=\frac{1}{2\sqrt{z}} \)

Ну щаз прямо, а z от х не зависит по-вашему?