Проверить, что функция является решением уравнения

[DeadChild]

Проверить, что функция \( z(x,y) \), определяемая соотношением \( F((x-y)(z+1),(x+y)(z-1))=0 \), является решением уравнения \( (xz+y)\frac{\partial z}{\partial x}+(x+yz)\frac{\partial z}{\partial y}=1-z^2 \).
Как я поняла нужно продифференцировать это \( F((x-y)(z+1),(x+y)(z-1))=0 \) по \( x \) и по \( y \), а потом полученное подставить в формулу. Не понимаю как это дифференцировать... Может сначала скобки раскрыть? На \( z \) смотреть как на функцию, а \( x \) и \( y \) независимые переменные?
Подскажите, пожалуйста...

[DeadChild]

Уже несколько часов бьюсь над этим заданием! Не получается, не понимаю...
Помогите... Может кто-нибудь знает?..

[Dlacier]

А вы пробовали просто решить это уравнение
\( (xz+y)\frac{\partial z}{\partial x}+(x+yz)\frac{\partial z}{\partial y}=1-z^2? \)

[DeadChild]

А как его решить??

[Dlacier]

Вы знакомы с уравнениями в частных производных первого порядка?
И хоть раз решали такие задачи?
Если нет, то это надолго. И лучше для начала литературу почитать.
Слышали о методе характеристик?

[DeadChild]

Частные производные проходили. Уравнения в частых производных и о методе характеристик слышу впервые!
Мне сказали, что нужно продифференцировать...как сложную функцию...

[Dlacier]

Частные производные проходили. Уравнения в частых производных и о методе характеристик слышу впервые!
Мне сказали, что нужно продифференцировать...как сложную функцию...

А кто вам такое посоветовал?

[DeadChild]

Преподаватель математического анализа.

[Dlacier]

И еще вопрос, как вы понимаете эту запись \( F((x-y)(z+1),(x+y)(z-1))=0? \)
Объясню почему вопрос у меня возник, вы писали

Может сначала скобки раскрыть?

[DeadChild]

ну... я думаю это подобно \( f(x,y) \) или нет?

[Dlacier]

ну... я думаю это подобно \( f(x,y) \) или нет?

Верно.
Теперь пусть
\( F=F(u,v) \)
\( u(x,y,z)=(x-y)(z+1) \)
\( v(x,y,z)=(x+y)(z-1) \)

Теперь можно и продифференциировать как сложную функцию
\( F^\prime _x= F^\prime _u u^\prime _x+F^\prime _v v^\prime _x \)

\( F^\prime _y= F^\prime _u u^\prime _y+F^\prime _v v^\prime _y \)

\( F^\prime _z= F^\prime _u u^\prime _z+F^\prime _v v^\prime _z \)

Попробуйте так.

[DeadChild]

вот что получилось у меня...
\( F_{x}'=F_{u}'(z+1)+F_{v}'(z-1) \)
\( F_{y}'=F_{u}'(-z-1)+F_{v}'(z+1) \)
\( F_{z}'=F_{u}'(x-y)+F_{v}'(x+y) \)

[DeadChild]

Что дальше делать? Можно уже подставлять?

[Nikgamer]

Что дальше делать? Можно уже подставлять?

То, что писала госпожа Dlacer выше - называется практическим применением теоремы о неявной функции.  И вам в условии очень непрозрачно намекнули, что z выражается через х и у. Вам осталось продифференцировать, найти \( z'_x \) и \( z'_y \) и подставить.

Только госпожа Dlacer немного не так делает. Здесь надо не частные производные находить, а полный дифференциал функции \( F \), который равен нулю. Оттуда выражать \( dz \) и сразу получать частные производные.

[Dlacier]

Только госпожа Dlacer немного не так делает. Здесь надо не частные производные находить, а полный дифференциал функции \( F \), который равен нулю. Оттуда выражать \( dz \) и сразу получать частные производные.

Это было следующим шагом.)