Проинтегрировать уравнение

[DeadChild]

Здравствуйте. В лабораторной работе по Дифференциальным уравнениям такое задание:
Проинтегрировать уравнение:
\( 8t+4x+1+(4t+2x+1)x'=0 \)
Что с этим делать?

[testtest]

возможно, это
\( \frac{dx}{dt} = - \frac{8t + 4x + 1}{4t + 2x + 1} \)

\( 2t + x = y \)

\( x = y - 2t \)

\( \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} - 2 \)

\( \frac{dy}{dt} = 2 - \frac{4y + 1}{2y + 1} \)

\( \frac{dy}{2 - \frac{4y + 1}{2y + 1}} = dt \)

\( \int \frac{dy}{2 - \frac{4y + 1}{2y + 1}} = \int dt \)

\( \int \frac{dy}{1 - \frac{2y}{2y + 1}} = \int dt \)

\( y^2 + y + C = t \)

\( (2t+x)^2 + t+x + C = 0 \)

[DeadChild]

А я только что у преподавателя спрашивала. Сказали сделать замену \( z=z(x)=4t+2x \), где \( x=x(t) \).
Я нашла \( z'=\frac{dz}{dt}=4+2x' \)
\( 2x'=z'-4 \)
\( x'=\frac{z'-4}{2} \)
\( z-4t=2x \)
\( x=\frac{z-4t}{2} \)
Подставила все в первое уравнение
\( 8t+4(\frac{z-4t}{2})+1+(z+1)(\frac{z'-4}{2})=0 \)
\( 16t+4z-16t+2+zz'-4z+z'-4=0 \)
\( zz'-2=0 \)
\( z'=\frac{2}{z} \)
\( \frac{dz}{dt}=\frac{2}{z} \)
\( zdz=2dt \)
Что тогда с этим делать? Или я вообще не так решаю?

[testtest]

неверно здесь:

\( 16t+4z-16t+2+zz'-4z+z'-4=0 \)
\( zz'-2=0 \)

должно быть
\( zz'+z'-2=0 \)
тогда
\( z'(z+1)=2 \)

\( (z+1) dz=2 dt \)

\( \int (z+1) dz=\int 2 dt \)
и у тебя тот же результат, что и у меня в предпоследней строке

[DeadChild]

ой, точно)) вроде 2 раза перерешивала и пропустила...

После интегралов получается \( \frac{z^2}{2}+z=2t \)? А потом сделать обратную замену...
Вау! У меня получилось как у Вас!
Это и будет ответ?

[DeadChild]

СПАСИБО Вам Большое!!!