Чему равен интеграл?

[renuar911]

Этот интеграл появился у меня при решении чисто практической задачи. Я знал только одно с уверенностью: интеграл существует и его значение не превышает 10 (это вытекало из физических соображений). Но когда его предложил на серьезных форумах, практически все знатоки интегралов твердили, что он расходящийся. Пришлось самому налечь, решить численно и найти красивое решение. Потом уж задним числом мои критики убедились в моей правоте и сумели математически четко решить задачу. Вот этот интерал:

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{ctg(x)}{x} \right )dx \)

Сможет ли кто из Вас взять этот интеграл просто и красиво?

[testtest]

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{\cos x}{x \sin x} dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{\cos x}{x \sin x} dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty}\frac{1}{x \sin x} d(\sin x) = \frac1x - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x d\left(x^{-1} \sin^{-1} x\right) \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x d\left(x^{-1} \sin^{-1} x\right) = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \sin x\left(\frac{-x^{-2}}{\sin x} + x^{-1}\frac{-\cos x}{\sin^2 x}\right)dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} -x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left(-\frac{\operatorname{ctg} x}{x}\right) dx \)


\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left x^{-2} dx - \frac1x + \int \limits _{-\infty} ^{\infty} -x^{-2} dx - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left(-\frac{\operatorname{ctg} x}{x}\right) dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx - \frac1x \)

\( -\frac1x - \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx - \frac1x \)

\( 0 = 2\int \limits _{-\infty} ^{\infty} \frac{\operatorname{ctg} x}{x} dx \)

\( \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2}-\frac{\operatorname{ctg} x}{x} \right )dx = \int \limits _{-\infty} ^{\infty} \left ( \frac {1}{x^2} \right )dx = \left.-\frac1x\right|_{-\infty}^{+\infty} = 0 \)

а теперь найди ошибку


просто и красиво будет, видимо, через четность функций, но я в этом нифига не смыслю.

[renuar911]

Ошибку искать не буду. Скажу только, что этот интеграл равен  \( \pi \)

[testtest]

а как ты считал численно от \( -\infty \) до \( \infty \)?

[Dlacier]

testtest, ошибка в знаке, четвертая строка последнее слагаемое.
В итоге у вас получится \( 0 \equiv 0 \)

[renuar911]

а как ты считал численно от \( -\infty \) до \( \infty \)?

Методом простых прямоугольников. Но, учитывая, что функция симметрична относительно нуля координат, то вычислял площадь от 0 до бесконечности. Число разбиений доводил до триллионов. Благо, мой мощнейший комп щелкает такие задачки быстро.
Зная мои результаты, друзья-математики уже строго сумели взять этот интеграл. Но выкладки оказались громоздкими. Поэтому я и решил эту задачу выложить - вдруг найдется специалист, который в одну строку одолеет проблему.