Помогите, пожалуйста, с пределом

[DeadChild]

В задании "Исследовать на дифференцируемость в точке \( (\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) функцию \( f(x,y)=cos(x+y) \)" дошла до предела \( \lim\limits_{\bigtriangleup x,\bigtriangleup y\to{0}}\frac{-sin(\bigtriangleup x+\bigtriangleup y)+1}{\sqrt{\bigtriangleup x^2+\bigtriangleup y^2}} \)(там \( \bigtriangleup x \rightarrow 0, \bigtriangleup y \rightarrow 0 \)). Как его решить?

[DeadChild]

В методичке есть похожий предел \( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\cos(\Delta x + \Delta y) - 1}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}} \).

Последовательно используют формулу \( 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2} \) и эквивалентность \( \sin\alpha\sim\alpha(\alpha\rightarrow 0): \)
\( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\cos(\Delta x + \Delta y) - 1}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}= \) \( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{-\sin^2\frac{\Delta x + \Delta y}{2}}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}= \) \( \,-\frac{1}{2}\lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{(\Delta x + \Delta y)^2}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}= \) \( \,-\frac{1}{2}\lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}(\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}+\frac{2\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}). \)
Очевидно, предел первого слагаемого равен нулю. Рассматривают предел второго слагаемого и преобразуют его:
\( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\frac{2\Delta x\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}= \) \( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}}\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\Delta y^2} + \frac{1}{\Delta x^2}}}. \)
Так как \( \Delta x \) и \( \Delta y \) - бесконечно малые, то \( \frac{1}{\Delta x} \) и \( \frac{1}{\Delta y} \) - бесконечно большие величины. Тогда \( \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \) - бесконечно большая, а значит, \( \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\Delta y^2} + \frac{1}{\Delta x^2}}} \) - бесконечно малая величина, то есть предел второго слагаемого тоже нуль. Таким образом, \( \lim \limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\cos(\Delta x + \Delta y) - 1}{\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}}=0. \)
Люди добрые, с моим пределом можно сделать похожие операции??

[Alexdemath]

DeadChild, а как Вы думаете в Вашем пределе есть неопределённость?

[DeadChild]

А я его решила! В числителе получилась 1, в знаменателе 0. Следовательно предел равен бесконечности.