Помощь в вычислении пределов.

[SanekRS]

Так и не нашел толковых примеров решения пределов. На первую задачку нашел похожий пример и прорешал его:

но явно где-то ошибки

А со вторым никак не могу разобраться с чего начинать???


Буду очень признателен за помощь

[Alexdemath]

А со вторым никак не могу разобраться с чего начинать???


Буду очень признателен за помощь

Не можешь вспомнить два раза первый замечательный предел?!!

\( {\lim\limits_{x\to0}\!\left(\frac{\sin2x}{\sin3x}\right)^{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\!\left(\frac{2}{3}\frac{\sin2x}{2x}\frac{3x}{\sin3x}\right)^{x^2}=\left[\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}{\left(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\right)\!\!}^{-1}\right]^{\lim\limits_{x\to0}x^2}=\ldots} \)

[Dlacier]

Так и не нашел толковых примеров решения пределов. На первую задачку нашел похожий пример и прорешал его:

но явно где-то ошибки

Нельзя так \( x \) из под корня выносить.
\( \sqrt{2+9}\ne \sqrt 2 +3 \)

[tig81]

Нельзя так \( x \) из под корня выносить.
\( \sqrt{2+9}\ne \sqrt 2 +3 \)

Но зато равно \( \sqrt{2+9}=3\sqrt{\frac{2}{9} +1} \)

[tig81]

На первую задачку нашел похожий пример и прорешал его

Сразу домножайте числитель и знаменатель на сопряженное к числителю.

[SanekRS]

И получается при х=0 ответ 0 ?

[SanekRS]

А со вторым никак не могу разобраться с чего начинать???


Буду очень признателен за помощь

Не можешь вспомнить два раза первый замечательный предел?!!

\( {\lim\limits_{x\to0}\!\left(\frac{\sin2x}{\sin3x}\right)^{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\!\left(\frac{2}{3}\frac{\sin2x}{2x}\frac{3x}{\sin3x}\right)^{x^2}=\left[\frac{2}{3}\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}{\left(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\right)\!\!}^{-1}\right]^{\lim\limits_{x\to0}x^2}=\ldots} \)

Нет, не могу вспомнить, с пределами почти не сталкивался, под первый пример я хоть нашел методику вычисления, а вот с этим все сложнее(

[Dlacier]

Кто вас так с дробями и корнями обращаться учил
\( \frac{\sqrt{1-2x+x^2}-(1+x)}{x}=\frac{[\sqrt{1-2x+x^2}-(1+x)][\sqrt{1-2x+x^2}+(1+x)]}{x[\sqrt{1-2x+x^2}+(1+x)]} \)
Здесь все нормально, умножили на сопряженное. А дальше прям чудеса.
Изложу замечания
\( \sqrt{(1-2x+x^2)^2}\ne\sqrt{1-2x^2+x^4} \)
\( \sqrt{(1-2x+x^2)^2}=\sqrt{1-4x+6x^2-4x^3+x^4} \)
Это не повлияло на результат, т.к. потом еще умудрились корень извлечь \( \sqrt{1-2x^2+x^4}\ne 1-2x+x^2, \) но \( \sqrt{1-2x^2+x^4}= |1-x^2| \).
Далее \( (1+x)^2\ne1+x^2 \).
Ну а сокращения дробей полный бред.
\( \frac{2+9}{3}\ne\frac{2+3}{1} \), но \( \frac{2+9}{3}=\frac{(\frac{2}{3}+3)3}{3}=\frac{\frac{2}{3}+3}{1} \). Чувствуете разницу?
Сокращать можно множители, но никак не слагаемые!
Посмотрите
Формулы сокращенного умножения
Не все ошибки здесь указала, думайте и исправляйте.
Потом снова проверим.)

[Dlacier]

Нет, не могу вспомнить, с пределами почти не сталкивался, под первый пример я хоть нашел методику вычисления, а вот с этим все сложнее(

\( \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 \)

[SanekRS]

Просто в техникуме 3 года не было ни математики ни алгебры, а сейчас в университете появилась))) Вот только начал вспоминать все.

Спасибо, понял свои ошибки:

Формула приняла такой вид:


можно ли сейчас подставить х=0? или можно еще упрастить?

[SanekRS]

А вот второй предел:

[Dlacier]

Подставив, получите неопределенность 0/0. То есть вы от нее не избавились.

Я показала где ошибки, но это не означает, что нужно было раскрывать все скобки.
Как вы считаете для чего умножали на сопряженное? Правильно, чтобы избавиться от неопределенности.
В числителе после умножения на это самое сопряженное, "избавьтесь" от корня и приведите подобные и далее сократите.
А уже после можно будет и к пределу перейти.

[Dlacier]

По второму пределу, не нужно везде нули подставять.
Alexdemath написал уже все решение, можно продолжить так
\( =\left(\frac{2}{3}\cdot 1\cdot 1\right)^0=1 \)

[renuar911]

А можно и эквивалентные замены. \( \sin(2x) \to 2x \,\,\, ,\,\,\ sin(3x) \, \to \, 3x  \)

[SanekRS]

Перерешал, проверьте пожалуйста.